Съдържание

ВсОШ 2014, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 20. Ползущая пружина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2014

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. Теоретический тур (7–8 класс); XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур (9–11 класс). МФТИ, 2013/2014 уч.г.

9 класс

XLVIII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. Теоретический тур

9 класс

Условие

Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза, соединенные лёгкой нерастянутой пружиной, длина которой $l_0$ , а жёсткость — $k$ . К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок, прикреплён ещё один такой же груз массой $m$ (рис. 14). Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают.

Два груза m на горизонтальной поверхности, соединённые пружиной с подписью k, l0; от правого груза нить идёт через блок на краю стола к третьему грузу m, висящему вертикально вдоль стенки. — Рис. 14

Через какое минимальное время $\tau$ удлинение $\Delta l$ пружины станет максимальным?

Найдите это удлинение.

Отговори

Решение

Рассмотрим груз (1), к которому прикреплена только пружина (рис. 33). На него действует только сила $F_1$ со стороны пружины:

ma_1 = F_1. \qquad (15)

Силы в системе: груз 1 с силой F1 от пружины, груз 2 с силами F2 (пружина) и F3 (нить), нить через блок на краю стола к висящему грузу 3 с силами F4 (вверх) и mg (вниз). — Рис. 33

Так как пружина лёгкая,

\vec{F_1} + \vec{F_2} = 0, \quad \text{или} \quad F_1 = F_2 = F. \qquad (16)

Груз (2) движется под действием силы $F_2$ со стороны пружины и силы $F_3$ со стороны нити:

ma_2 = F_3 - F_2. \qquad (17)

На груз (3) действуют силы тяжести $mg$ и реакции нити $F_4$ :

ma_3 = mg - F_4. \qquad (18)

Поскольку нить нерастяжима, то

F_3 = F_4; \quad a_2 = a_3. \qquad (19)

Выразим из уравнений (15) — (19) разность ускорений

a_2 - a_1 = \frac{g}{2} - \frac{3F}{2m}.

С учётом закона Гука получаем:

\ddot{x} = a_2 - a_1 = \frac{g}{2} - \frac{3k}{2m}x, \qquad (20)

где $x$ — удлинение пружины.

Введём обозначения:

\omega^2 = \frac{3k}{2m}; \quad A_0 = \frac{mg}{3k}; \quad y = x - A_0;

и перепишем уравнение (20):

\ddot{y} + \omega^2 y = 0.

Мы получили уравнение колебаний, решение которого имеет вид

y = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t),

или, возвращаясь к переменной $x$ :

x = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t) + A_0.

Из условия, что система в начальный момент времени неподвижна ( $\dot{x}(0) = 0$ ) следует, что $B = 0$ , а из условия, что пружина не растянута — $A + A_0 = 0$ . Отсюда получаем

x = A_0\left(1 - \cos(\omega t)\right).

Максимальное удлинение $\Delta l = 2A_0 = \dfrac{2mg}{3k}$ достигается впервые через время $\tau = \dfrac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\dfrac{2m}{3k}}$ .

Примерные критерии оценивания

Запись второго закона Ньютона для каждого из грузов (по 0,5 балла) — 1,5
Равенство сил, действующих на грузы 1 и 2 со стороны пружины — 0,5
Связи сил и ускорений, обусловленные нерастяжимостью нити — 1
Получено уравнение (20) — 2
Записано и решено уравнение колебаний — 3
Найдено $\Delta l$ — 1
Найдено $\tau$ — 1

Оригинал в Архива: region14T.pdf