ВсОШ 2014, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Экстремальная гонка (Слободянин В.)

• $v_{\min} = v_{\text{ср}},\quad v_{\max} = \sqrt{2}\,v_{\text{ср}}$

Графическое решение. Пусть $L$ — длина контрольного участка трассы. Время движения болида $t_0 = L/v_{\text{ср}}$. На графике $v(t)$ возможные способы движения болида представлены прямыми с разными наклонами (ускорениями), причём, площадь под каждым графиком (длина пути) одинакова (рис. 12).

Пусть болид стартовал со скоростью $v_1$. Обозначим через $t_1$ момент времени, когда он находился в середине пути. Площади под графиком слева и справа от точки $t_1$ равны. Заметим, что при увеличении по модулю ускорения $a$ значение скорости в середине пути (момент $t_1$) увеличивается.

Наименьшая скорость $v_{\min}$ достигается при $a = 0$ и равна средней скорости $v_{\text{ср}}$, а максимальная $v_{\max}$ будет достигнута при движении с максимальным ускорением и нулевой начальной (или конечной) скоростью. Конечная скорость при таком движении $v_{\text{к}} = 2v_{\text{ср}}$. Длина контрольного участка равна:

На половине пути:

Отсюда следует, что максимальная скорость в середине участка равна $v_{\max} = v_{\text{к}}/\sqrt{2} = \sqrt{2}v_{\text{ср}}$.

Аналитическое решение. Пусть начальная скорость болида $v_0$, а ускорение при движении равно $a$. Тогда длина контрольного участка трассы

Для половины пути справедливо соотношение:

Из (1) и (2) получим выражение для скорости в середине трассы:

Так как движение равноускоренное, то средняя скорость $v_{\text{ср}}$ выражается через $v_{\text{к}}$ и $v_0$ следующим образом:

Начальная и конечная скорости неотрицательны, поэтому для начальной скорости верно условие $0 < v_0 < 2v_{\text{ср}}$.

Выразим скорость $v$ в середине пути через $v_0$ и $v_{\text{ср}}$:

Минимальная скорость $v_{\min}$ достигается при $v_0 = v_{\text{ср}}$ и равна $v_{\text{ср}}$. Максимальная скорость $v_{\max}$ достигается при $v_0 = 0$ или $v_0 = 2v_{\text{ср}}$ и равна $\sqrt{2}v_{\text{ср}}$.