Съдържание

ВсОШ 2015, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 1. Изменение объема при деформации

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

Условие

Задание 7.1. и 8.1. Изменение объема при деформации

С помощью выданного вам оборудования определите длину $L_0$ , диаметр $d_0$ и объем $V_0$ недеформированного резинового жгута. Опишите процедуру измерений $L_0$ , $d_0$ , $V_0$ . Подумайте и опишите, как определить длину $L_1$ , диаметр $d_1$ и объем $V_1$ деформированного (растянутого) резинового жгута. Приведите поясняющий рисунок. Проведите соответствующие измерения. Следите за тем, чтобы деформация жгута была однородной. Повторите измерения для 2 – 3 различных масс груза. Результаты занесите в таблицу. Обозначим увеличение интересующих нас параметров символами $\Delta L$ , $\Delta d$ , $\Delta V$ .

№ измерения	$L_0$ , см							$\Delta V/V_0$
1
2
3
4

1) Постройте график зависимости $\Delta d/d_0$ от $\Delta L/L_0$ . Оцените отношение $\mu = (\Delta d/d_0)$ к $(\Delta L/L_0)$ при $(\Delta L/L_0)$ стремящемся к нулю. Коэффициент $\mu$ часто встречается в теории упругости и называется коэффициентом Пуассона.

2) Найдите объем растянутого жгута при $L \approx 3L_0$ Укажите, растёт или уменьшается объем жгута при его растяжении.

Приборы и оборудование: резиновый шнур диаметром 2,5 – 3,0 мм, трубка (например, обрезок пластиковой трубы диаметром 25 – 30 мм и длиной 25 – 30 см) или деревянный цилиндр, измерительная лента (или рулетка) длиной не менее 1 м, груз (например, пластиковая бутылка емкостью 0,4 – 0,5 л примерно на 2/3 заполненная водой), емкость для сливания воды (подойдёт пластиковая бутылка объемом полтора литра с обрезанная горлышком), миллиметровая бумага для построения графика.

Решение

Возможное решение

Длину недеформированного жгута $L_0$ можно измерить непосредственно с помощью измерительной ленты. Определим диаметр $d_0$ методом рядов. Для этого намотаем без натяга плотно (виток к витку) жгут на пластиковую трубу, сосчитаем число витков $N$ и измерим длину $s$ (вдоль трубы) которую заняла намотка. Тогда искомое значение $d_0 = s/N$ . Объём жгута можно вычислить по формуле

V_0 = \frac{d_0^2 L_0}{1{,}273}. \qquad (1)

Для исследования деформированного жгута подвесим на нем бутылку с водой (например, можно привязать жгут к горлышку бутылки). Под действием веса бутылки с водой жгут растянется, новое значение его длины можно измерить непосредственно. Будем плотно наматывать растянутый жгут на трубу (на конце жгута все время висит бутылка, что обеспечивает постоянство его натяжения). При этом диаметр жгута при намотке не меняется (намотка плотная и велика сила трения между трубой и жгутом). Значит, его можно определить методом рядов, аналогично случаю нерастянутого жгута. Когда отношение $\Delta L/L_0$ мало (вычисления по первой измеренной точке) значение коэффициента Пуассона примерно равно 0,5. При увеличении $\Delta L/L_0$ искомое отношение убывает, следовательно, зависимость нелинейная, а проведение прямой по первым нескольким точкам необоснованно, так как они лежат уже вне области применимости линейного приближения. Новое значение объема найдём с помощью формулы (1). Вычисления показывают, что при длине жгута $L = 3L_0$ его объём несколько больше, чем при отсутствии деформации. (Возможное значение $\Delta V/V$ порядка 20%) При малых деформациях объём практически постоянен (однако это сложно наблюдать из-за малой точности измерений).

Примерные критерии оценивания

Измерение длины недеформированного жгута 0,5 балла

Описание метода измерения диаметра методом рядов 1 балл

Измерение диаметра недеформированного жгута 1 балл

Вычисление объема недеформированного жгута 1 балла

Описание метода измерения диаметра деформированного жгута 1,5 балла

Измерения для четырех значений масс грузов 4 x 0,5 балла = 2 балла

График 1 балл

Значение коэффициента Пуассона (по первой точке) 1 балл

Значение относительного изменения объема 1 балл

Оригинал в Архива: region15E.pdf