ВсОШ 2015, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 20. Маятник

• Ускорение шарика $a = g$; ситуация возможна при $60^{\circ} \le \alpha < 90^{\circ}$.

Обозначим массу шарика $m$, а длину нити $l$. Обратим внимание на то, что шарик в любой момент движется по окружности радиуса $l$, то есть амплитуда колебаний не должна превышать $90^{\circ}$. Рассмотрим момент, когда нить составляет угол $\varphi$ с вертикалью. Запишем второй закон Ньютона для шарика в проекции на ось, параллельную нити:

Из закона сохранения энергии найдём квадрат скорости шарика:

Подставив в , получим

Видно, что сила натяжения нити минимальна при $\varphi = \alpha$ и равна $T_{\min} = mg\cos\alpha$. При $\varphi$ таком, что $\cos\varphi = 2\cos\alpha$, $T = 4T_{\min} = 2mg\cos\varphi$. В этот момент нормальное ускорение шарика равно

а тангенциальное ускорение шарика равно

Полное ускорение шарика $a = g\sqrt{\cos^2\varphi + \sin^2\varphi} = g$.

Сила натяжения нити может в 4 раза превышает минимальную, если существует такой угол $\varphi$, что $\cos\varphi = 2\cos\alpha$, то есть

Значит, описанная в задаче ситуация возможна при $60^{\circ} \le \alpha < 90^{\circ}$.

Примерные критерии оценивания

Найдена скорость шарика при заданном отклонении от вертикали … 2 балла

Для шарика записан второй закон Ньютона в проекции на ось, параллельную нити … 1 балл

Правильно указан момент, когда натяжение нити минимально … 1 балл

Найдено искомое ускорение … 3 балла

Указано, что $\alpha < 90^{\circ}$ … 1 балл

Найдена минимальная амплитуда колебаний, при которой возможна описанная в задаче ситуация ($60^{\circ}$) … 2 балла