ВсОШ 2015, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 21. Перезарядка конденсаторов

• 1. При $U_D \ge U_0/2$: $U_1 = U_2 = U_0/2$, $U_3 = 0$; при $U_D < U_0/2$: $U_1 = U_2 = \frac{U_0 + U_D}{3}$, $U_3 = \frac{U_0 - 2U_D}{3}$.
• 2. При $U_D \ge U_0/2$: $Q = \frac{CU_0^2}{4}$; при $U_D < U_0/2$: $Q = \frac{C(U_0^2 - U_D^2)}{3}$.
• 3. При $U_D \ge U_0/2$ ток через диод не течёт ($Q_D = 0$); при $U_D < U_0/2$: $Q_D = \frac{C\left(U_0U_D - 2U_D^2\right)}{3}$.
• 4. При $U_D \ge U_0/2$: всё тепло $\frac{CU_0^2}{4}$; при $U_D < U_0/2$: $Q_R = \frac{C(U_0^2 - U_0U_D + U_D^2)}{3}$.

Нужно рассмотреть два случая: малых напряжений $U_0$, когда правый конденсатор вообще не будет заряжаться, так как напряжение на среднем конденсаторе не превзойдёт напряжение открытия диода $U_D$, и случая, когда заряжается и правый конденсатор. Если диод не открывается, то первоначальный заряд левого конденсатора делится поровну между двумя конденсаторами. Напряжения на конденсаторах через большой промежуток времени после замыкания ключа:

(конденсаторы пронумерованы слева на право).

Видно, что этот случай реализуется при $U_D \ge U_0/2$. Выделившееся в цепи количество теплоты $Q$ найдём из закона сохранения энергии:

Поскольку ток через диод не тёк, всё тепло выделилось на резисторе.

Теперь рассмотрим случай $U_D < U_0/2$. При зарядке правого конденсатора напряжение на нём $U_3$ будет меньше, чем напряжение на среднем $U_2$ на величину $U_D$. Напряжения на левом и среднем конденсаторах $U_1$ и $U_2$ к окончанию перезарядки будут равными: $U_1 = U_2 = U$. Условие сохранение заряда:

Общее количество теплоты, выделившееся к концу процесса в схеме будет равно разности начальной и конечной энергий конденсаторов:

Напряжение на третьем конденсаторе: $U_3 = U - U_D = \dfrac{(U_0 - 2U_D)}{3}$.

Тепло, выделившееся на диоде

где $q_D = CU_3$ — заряд правого конденсатора к концу процесса перезарядки. Таким образом

Остальное тепло выделится на резисторе:

Примерные критерии оценивания

Рассмотрен и проанализирован случай $U_D \ge U_0/2$ … 3 балла

Для случая $U_D < U_0/2$:

Указано, что $U_3 = U_2 - U_D$ … 1 балл

Указано, что $U_1 = U_2$ … 1 балл

Найдены напряжения $U_1, U_2, U_3$ … 1 балл

Записан закон сохранения энергии … 1 балл

Найдено всё выделившееся тепло $Q$ … 1 балл

Найдено тепло, выделившееся на диоде $Q_D$ … 1 балл

Найдено тепло, выделившееся на резисторе $Q_R$ … 1 балл