ВсОШ 2015, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 4. С одним велосипедом

• 2.4 ч

  Двое едут на велосипеде 15 км, затем один идёт пешком, а другой возвращается навстречу третьему; все прибывают одновременно.

Задача 4. (Варламов С.). Время путешествия будет минимальным, если все туристы одновременно прибудут в пункт назначения, а велосипед всё время будет задействован: в сторону от А к Б на нём будут ехать двое, а от Б к А – один).

Пусть два туриста на велосипеде проехали расстояние $x$. На это им потребовалось время $t_2 = x/\upsilon_2$. Затем один из них до пункта Б шёл пешком (и прошёл расстояние $L - x$ за некоторое время $t_0$), а другой – поехал обратно навстречу своему товарищу, который из А шёл пешком. Пусть на обратную дорогу он потратил время $\tau$. Если они встретятся от пункта А на расстоянии $y = L - x$, то далее проедут на велосипеде расстояние $x$ и прибудут в пункт Б одновременно со спешившимся туристом!

Запишем эти условия на языке формул.

За время $t_2$ пеший турист прошёл расстояние $x_1 = \upsilon_0 t_2 = x\dfrac{\upsilon_0}{\upsilon_2}$. Следовательно, велосипедист проедет обратно, до встречи со своим товарищем, расстояние $l = x - x_1$ за время

Подставим в формулу (1) времена $t_2$ и $\tau$.

Разрешив это уравнение относительно $x$ и подставив числовые значения скоростей и расстояния $L$, получим: $x = 15$ км.

Теперь найдём время $t_2 = \dfrac{x}{\upsilon_2} = 1$ час. Расстояние $L - x = 7$ км. Откуда $t_0 = \dfrac{L - x}{\upsilon_0} = 1{,}4$ часа. Таким образом, всё время путешествия $T = t_2 + t_0 = 2{,}4$ часа.

Примерные критерии оценивания

Предложена идея нахождения минимума времени путешествия … 3 балла

Конкретизация этой идеи ($y = L - x$) … 1 балл

За формулу (1) или её аналога … 1 балл

Найдено время $\tau$ перемещения велосипедиста в направлении от Б к А … 1 балл

Решена система уравнений и найдено расстояние $x$ … 3 балла

Найдено время $T$ всего путешествия … 1 балл