Съдържание

Условие Часть 1. Масса песка.Часть 2. Скорость хода часов.Отговори Решение

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Песочные часы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур. Методическое пособие

Условие

Часть 1. Масса песка.

1.1. (1 балл) Исследуйте, зависит ли массовый расход $\mu$ (кг/с) песка в песочных часах от высоты $h$ столба песка в верхней колбе (рис. 1). Сделайте вывод. [1 т.]

1.2. (4 балла) Определите массу $m$ песка внутри песочных часов. Обратите внимание на то, что колбы песочных часов имеют разную длину. Колбы часов можно считать цилиндрическими. [4 т.]

Внимание! Следует аккуратно обращаться с песочными часами, не сломать узкую горловину, соединяющую верхнюю и нижнюю колбы. Пластмассовые опоры снимать можно. За поломку колбы часов снимается 5 баллов и новые часы не выдаются!

Часть 2. Скорость хода часов.

В этой части эксперимента вы работаете с моделью песочных часов, собранных вами.

2.1. (2 балла) Предположим, что массовый расход песка $\mu$ зависит только от его плотности $\rho$ , ускорения свободного падения $g$ , высоты $h$ столба песка, и разности $(D - d)$ , где $D$ — диаметр отверстия в пробке, $d$ — параметр, зависящий от свойств песка, $C$ — безразмерная константа. Методом размерностей и по результатам предыдущего опыта определите коэффициенты $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ в формуле:

\mu = C\rho^{\alpha} g^{\beta} h^{\gamma} (D - d)^{\delta}.

[2 т.]

2.2. (3 балла) Снимите зависимость массового расхода $\mu$ (мг/с) песка, высыпающегося из отверстия в пробке бутылки, от диаметра отверстия $D$ . Так как эксперимент может оказаться продолжительным, то для проверки воспроизводимости достаточно трижды повторить опыт по измерению массового расхода $\mu$ только для отверстия диаметром $D = 3$ мм. Определите наибольшее отклонение от среднего значения. [3 т.]

2.3. (4 балла) Определите значение параметра $d$ . [4 т.]

2.4. (1 балл) Оцените погрешность $d$ . [1 т.]

Песочные часы на подставке: верхняя колба заполнена песком до высоты h (отмечена стрелкой слева), D — диаметр узкой горловины между колбами; внизу тёмная опора. — Рис. 1

Внимание! Будьте аккуратны и не рассыпайте песок мимо ёмкости.

Оборудование. Песочные часы, миллиметровая бумага, секундомер, весы (до 200 г), брусок, пластмассовая бутылка без дна, пластиковые крышки от бутылок с отверстиями различного диаметра (3; 4; 5; 6) мм, 2 прямоугольные ёмкости для песка (одна из них с песком), деревянный штатив.

Отговори

Решение

Часть 1. Масса песка.

1.1.Расположим часы вертикально и пересыпем весь песок полностью в одну половину часов. Перевернём часы и засечём время $t_1$ . Затем быстро перевернём часы и измерим время $t_2$ , за которое песок высыпется обратно. Эти времена равны в пределах погрешности. В первом случае высота столба максимальна, а во втором во много раз меньше. Равенство времён указывает на то, что массовый расход от высоты не зависит.

1.2. Пересыпем весь песок полностью в одну половину часов и расположим часы горизонтально. Добьёмся того, чтобы поверхность песка была горизонтальной. Поместим часы одной опорой на весы, а другой — на брусок (измерение 1). Затем пересыпем песок в другую колбу и положим часы так же (колба с песком на весах, измерение 2). Обозначим $m_0$ — масса часов вместе с песком, $m$ — масса песка, $m_1$ — показания весов в измерении 1, $m_2$ — показания весов в измерении 2. Пусть центр масс часов без песка находится на расстоянии $x$ от перемычки, а длины колб составляют $l_1$ и $l_2$ соответственно. Запишем уравнения моментов для обоих измерений:

m_1(l_1 + l_2) = m(l_2 + \frac{l_1}{2}) + (m_0 - m)(l_2 - x),

m_1\left(l_1 + l_2\right) = m\left(l_1 + \frac{l_2}{2}\right) + \left(m_0 - m\right)\left(l_1 + x\right).

Сложив эти уравнения, получим:

(m_1 + m_2)(l_1 + l_2) = m \cdot \frac{3}{2}(l_1 + l_2) + (m_0 - m)(l_1 + l_2)

Отсюда:

m = 2(m_1 + m_2 - m_0).

Часть 2. Скорость хода часов.

2.1.В пункте 1.1 установлено, что массовый расход от высоты не зависит, значит $\gamma = 0$ . Размерности $[g] =$ м/с $^2$ , $[D - d] =$ м, $[\rho] =$ кг/м $^3$ , $[\mu] =$ кг/c. Размерность времени входит только в $g$ , отсюда определяем, что $\beta = 1/2$ . Размерность массы входит только в $\rho$ , отсюда определяем, что $\alpha = 1$ . Чтобы размерность длины была правильной, $\delta = 5/2$ , значит:

\mu = C\rho g^{1/2}(D - d)^{5/2}.

2.2.С помощью секундомера и весов снимем зависимость массового расхода песка от диаметра отверстия. Для наименьшего диаметра проведем несколько измерений, результаты усредним. Разброс значений от среднего примерно 5 %, следовательно, значения массового расхода при остальных диаметрах можно находить по 1 точке. Данные занесём в таблицу.

$\mu$ , г/с	$d$ , мм	$\mu^{2/5}$ , (г/с) $^{2/5}$
0,73	3	0,88
1,67	4	1,23
2,83	5	1,52
4,86	6	1,88

2.3. Для нахождения величины $d$ линеаризуем зависимость, полученную в п. 2.1 и построим график в координатах $\mu^{2/5}(D)$ , он будет пересекать ось абсцисс при $D = d$ . Найдём из графика $d = 0{,}56$ мм.

Оригинал в Архива: finalE15.pdf