Съдържание

ВсОШ 2015, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. Разгон поезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2015

XLIX Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур. Методическое пособие

Условие

Машинист настроил бортовой компьютер электрички так, чтобы он показывал среднюю скорость $v$ на участке, пройденном между соседними опорами, поддерживающими контактный провод. Расстояния между любыми двумя соседними опорами одинаковы. Электричка отправляется с платформы «Новодачная» и разгоняется с постоянным ускорением. Через некоторое время машинист увидел, что компьютер показывает скорость $v_1 = 20$ км/ч. На следующем участке скорость оказалась $v_2 = 30$ км/ч. Какой была мгновенная скорость $u$ электрички на границе между первым и вторым участками?

Контактный провод на трёх опорах; между первой и второй опорой электричка с подписью v1, между второй и третьей — электричка с подписью v2. — Рис. 1

Отговори

Решение

Первый способ (аналитический «со временем»). Пусть $L$ — расстояние между соседними опорами, $a$ — ускорение электрички. Исходя из условия задачи мы будем рассматривать два соседних участка 1–2 и 2–3 между соответствующими опорами 1, 2 и 3 (рис. 11). Условимся, что средняя скорость на участке 1–2 есть $v_1$ , а на участке 2–3, соответственно, $v_2$ . Пусть $u_1$ — мгновенная скорость в момент прохождения первой опоры, электричка проходит участок 1–2 за некоторое время $t_1$ , а участок 2–3 — за время $t_2$ .

Контактный провод на опорах 1, 2 и 3; средние скорости v1 между опорами 1 и 2 и v2 между опорами 2 и 3; три положения электрички со стрелками мгновенных скоростей u1, u и u3. — Рис. 11

Тогда из определения средней скорости на участке, его длину можно записать как

L = v_1t_1 = v_2t_2. \qquad (1)

С другой стороны, поскольку движение равноускоренное:

L = u_1t_1 + \frac{at_1^2}{2}, \qquad (2)

L = ut_2 + \frac{at_2^2}{2}, \qquad (3)

u = u_1 + at_1. \qquad (4)

Умножая почленно (2) на $v_1/t_1$ и (3) на $v_2/t_2$ , затем, подставляя $t_1$ и $t_2$ из (1) и $u_1$ из (4) в (2) и (3), получаем

v_1^2 = uv_1 - \frac{aL}{2}, \qquad v_2^2 = uv_2 + \frac{aL}{2}.

Избавляясь от $L$ , выражаем скорость $u$ и находим её численное значение:

u = \frac{v_1^2 + v_2^2}{v_1 + v_2} = 26\ \text{км/ч}. \qquad (5)

Второй способ (графический). Используем обозначения первого способа, а также равенство (1).

Построим график зависимости скорости электрички от времени. С учетом равенства (1) и численных значений скоростей, движение на участке 1–2 длится в полтора раза дольше, чем на 2–3 (например $6\tau$ и $4\tau$ ).

График u, км/ч от t/τ (0–10): прямая мгновенной скорости через точки (3; 20), (6; 26), (8; 30); серые прямоугольники средних скоростей 20 км/ч на интервале 0–6 и 30 км/ч на интервале 6–10. — Рис. 12

Для любого участка при равноускоренном движении средняя скорость равна мгновенной скорости на середине временного интервала. Из графика следует, что изменение мгновенной скорости от 20 до 30 км/ч происходило за время $5\tau$ . Откуда изменение скорости за $3\tau$ равно 6 км/ч. Тогда искомая скорость 26 км/ч.

Третий способ (аналитический «без времени»). Используем обозначения первого способа. Пусть скорость на конце участка 2-3 равна $u_3$ . Средняя скорость при равноускоренном движении:

v_1 = \frac{u_1 + u}{2}, \qquad (6)

v_2 = \frac{u + u_3}{2}. \qquad (7)

Перемещения на участках равны:

L = \frac{u^2 - u_1^2}{2a}, \qquad (8)

L = \frac{u_3^2 - u^2}{2a}. \qquad (9)

Из (8) и (9) получаем

u^2 - u_1^2 = u_3^2 - u^2. \qquad (10)

Решая систему (6), (7) и (10) относительно $u$ получаем:

u = \frac{v_1^2 + v_2^2}{v_1 + v_2} = 26\ \text{км/ч}. \qquad (11)

Оригинал в Архива: finalT15.pdf