ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10. Отражение в полете

• $h = 10$ м; $H = 11{,}25$ м; $\upsilon \approx 15$ м/с; $u_1 = 2$ м/с, $u_2 = 0{,}5$ м/с; $S = 3$ м.

Возможное решение (Замятнин М.)

Вертикальное перемещение шарика описывается уравнением $h = \upsilon_{\text{в}} t - \dfrac{gt^2}{2}$, которое можно переписать в виде: $t^2 - 2\dfrac{\upsilon_{\text{в}}}{g}t + \dfrac{2h}{g} = 0$ (здесь $\upsilon_{\text{в}}$ – проекция начальной скорости на вертикальную ось). По теореме Виета время всего полета $t_1 + t_2 = \dfrac{2\upsilon_{\text{в}}}{g}$ и $t_1 t_2 = \dfrac{2h}{g}$, откуда высота, на которой произошел отскок $h = \dfrac{gt_1t_2}{2} = 10$ м и $\upsilon_{\text{в}} = \dfrac{g(t_1 + t_2)}{2} = 15$ м/с. Заметим, что при отражении от стенки вертикальная составляющая скорости шарика не изменяется, поэтому максимальная высота полета определяется лишь начальной вертикальной скоростью $\upsilon_{\text{в}}$ и равна $H = \dfrac{\upsilon_{\text{в}}^2}{2g} = \dfrac{g(t_1 + t_2)^2}{8} = 11{,}25$ м.

Горизонтальные перемещения шарика и стенки до момента столкновения связаны следующими соотношениями: $\upsilon_{\text{г}} t_2 = u_1 t_1$ и $\upsilon_{\text{г}} t_1 = u_2 t_2$, так как стенка проходит то расстояние, которое «не успевает» пролететь до падения шарик. Откуда $u_1 = \upsilon_{\text{г}} t_2/t_1$ и $u_2 = \upsilon_{\text{г}} t_1/t_2$.

В момент столкновения шарика со стенкой горизонтальная скорость шарика изменяет свое направление на противоположное и увеличивается на удвоенную скорость стенки (это можно показать, рассмотрев упругий отскок из системы отсчета, в которой стенка покоится). Вертикальная скорость шарика при отражении не изменяется, и дальнейший полет до падения длится столько же времени, как и в отсутствии удара. Тогда проекции перемещения шарика от катапульты до мест падения могут быть найдены по формулам:

Здесь за положительное направление принято направление от катапульты к стенке.

Расстояние между точками падения равно $L = L_2 - L_1 = 2\upsilon_{\text{г}}\left(t_2 - t_1 + \dfrac{t_2^2}{t_1} - \dfrac{t_1^2}{t_2}\right)$, откуда

Окончательно $\upsilon = \sqrt{\upsilon_{\text{г}}^2 + \upsilon_{\text{в}}^2} \approx 15$ м/с, горизонтальная дальность полета шарика (начальное расстояние между катапультой и стенкой) $S = \upsilon_{\text{г}}(t_1 + t_2) = 3$ м, скорости стенки $u_1 = 2$ м/с и $u_2 = 0{,}5$ м/с.

Критерии оценивания

1. Найдена высота, на которой произошло отражение (в т.ч. число 0,5 балла) — 1 балл
2. Найдена максимальная высота полета (в т.ч. число 0,5 балла) — 1 балл
3. Связь между горизонтальной скоростью шарика и скоростями стенки — 1 балл
4. Учтено сохранение вертикальной скорости шарика до и после отражения — 1 балл
5. Определена горизонтальная скорость шарика после отражения — 1 балл
6. Найдены расстояния от катапульты до мест падения шарика — 1 балл
7. Найдено начальное расстояние от катапульты до стенки — 1 балл
8. Найдена начальная скорость шарика — 1 балл
9. Получены численные значения $\upsilon$, $S$, $u_1$, $u_2$ (по 0,5 балла) — 2 балла