ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9. Минимальный путь

• $s = \left(\sqrt{2} - 1\right)\tau \upsilon_0$

Возможное решение (Слободянин В.)

Чтобы путь, пройденный за время $\tau$, был минимальным, автомобиль должен начать тормозить. Пусть $t_1$ – время, прошедшее с момента начала торможения до момента остановки автомобиля. (Вместо $t_1$ в качестве параметра задачи можно ввести конечную скорость $\upsilon_1$ автомобиля). После этого момента автомобиль начнёт разгоняться в обратном направлении. Пройденный путь

Преобразуем это выражение к виду

Это квадратное уравнение относительно переменной $t_1$. Приведём его к виду

Дискриминант этого уравнения равен

Из анализа первого сомножителя находим, что путь, пройденный за время $\tau$, минимален при условии

Критерии оценивания

1. В результате анализа движения, например, графика $\upsilon(t)$, указано на то, что скорость в течение времени $\tau$ должна сменить знак — 2 балла

2. Записано выражение для пройденного пути (через ускорение, или время $t_1$ движения автомобиля до остановки, или конечную скорость $\upsilon_1$) — 4 балла

   2 балла за выражение для пути до остановки и 2 балла - за оставшуюся часть пути

3. В результате решения квадратного уравнения получено выражение для времени $t_1$ движения до момента остановки автомобиля или для конечной скорости $\upsilon_1$ автомобиля — 3 балла

4. Получен окончательный ответ — 1 балл