ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 8. Шарики

• Площадь сечения стакана $S = 50$ см²; объем одного шарика $V_1 = 50$ см³.

Возможное решение (Замятнин М.)

По табличным данным построим график зависимости $h(V)$. Из графика следует, что линейный характер этой зависимости начинается после объема 400 см$^3$, и добавляемая жидкость распределяется по всему сечению сосуда равномерно. По угловому коэффициенту наклона этой части графика найдём площадь сечения сосуда:

$S = \dfrac{\Delta V}{\Delta h} = \dfrac{200}{4} = 50$ см$^2$.

Проведём экстраполяцию линейного участка до нулевого объема добавленной жидкости. В результате получим значение высоты «нулевого» уровня $h_0 = 4$ см. Это позволяет найти суммарный объем четырех и объем одного шарика. $V_1 = Sh_0/4 = 50$ см$^3$.

Решение 2. Из таблицы в условии видно, что, начиная с $V = 400$ см$^3$ зависимость $h(V)$ является линейной, и добавление каждых 50 см$^3$ воды приводит к повышению уровня воды на $h = 1$ см. Значит площадь сечения стакана $S = V/h = 50$ см$^2$. При наличии в стакане $V = 600$ см$^3$ воды, $h = 16$ см, т.е. объем воды с шариками равен $hS = 800$ см$^3$. Следовательно суммарный объем шариков равен $V_{\text{ш}} = 200$ см$^3$, а одного шарика – 50 см$^3$.

Критерии оценивания

• График зависимости $h(V)$ — 2 балла
• Найден и правильно интерпретирован линейный участок — 2 балла
• Идея нахождения площади сечения по углу наклона графика — 1 балл
• Численный результат для площади сечения — 1 балл
• Нахождение нулевого уровня — 1 балл
• Идея поиска объема одного шарика — 2 балла
• Численный результат для объема шарика — 1 балл