ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 13. Ледяное пятно

• 6.9 г

  При ином понимании условия (без кристаллизации воды) $m_{\text{п}} \approx 7{,}7$ г; авторы предлагают считать верными оба ответа.

Возможное решение (Замятнин М.)

Запишем уравнение теплового баланса для конденсирующегося (превращающегося в воду) пара, остывающей и кристаллизующейся воды и нагревающегося льда: $m_{\text{п}}(L + c(t_{\text{кип}} - t_0) + \lambda) = mc_1(t_0 - t)$, откуда $m_{\text{п}} = \dfrac{mc_1(t_0 - t)}{L + c(t_{\text{кип}} - t_0) + \lambda}$, или с учетом того, что $t_0 = 0^0$С, получим: $m_{\text{п}} = \dfrac{-mtc_1}{L + ct_{\text{кип}} + \lambda}$ (здесь и далее учтено, что $t < 0$). Максимальная масса пара потребуется при максимальном по модулю значении произведения $mt$. Одинаковым значениям произведения $mt$ соответствуют точки, лежащие на прямых, проведенных из начала координат. Действительно, для этих прямых выполняется условие $t = \alpha\dfrac{m_0}{m}$, или $mt = \alpha m_0 = const$, где $\alpha$ - угловой коэффициент наклона прямой. Чем больше угол наклона прямой, тем больше модуль произведения $mt$. Из графика видно, что для прямой проведенной из начала координат, касающейся области возможных параметров льда и имеющей максимальный угол наклона, значение коэффициента $\alpha = -10^0$С. Следовательно, максимальная масса пара потребуется при значении произведения $mt = -10$ кг$\cdot^0$С. С учетом этого, получим $m_{\text{п}} \approx 6{,}9$ г.

Возможно и иное понимание условия.

Запишем уравнение теплового баланса для конденсирующегося (превращающегося в воду) пара, остывающей воды и нагревающегося льда: $m_{\text{п}}(L + c(t_{\text{кип}} - t_0)) = mc_1(t_0 - t)$, откуда $m_{\text{п}} = \dfrac{mc_1(t_0 - t)}{L + c(t_{\text{кип}} - t_0)}$, или с учетом того, что $t_0 = 0^0$С, получим: $m_{\text{п}} = \dfrac{-mtc_1}{L + ct_{\text{кип}}}$ (здесь и далее учтено, что $t < 0$).

Далее решение совпадает с предыдущей версией. Новый числовой ответ: $m_{\text{п}} \approx 7{,}7$ г.

Словосочетание в условии «может потребоваться» отдает некоторое предпочтение ответу 6,9 г, определяющему нижнюю границу диапазона максимальных масс. Т.е. 6,9 г точно хватит, для реализации условия задачи - это необходимая максимальная масса. Все значения лежащие в диапазоне от 6,9 г до 7,7 г являются избыточными, но не противоречащими условию. Во избежание ненужных лингвистических споров, авторы предлагают считать верными оба ответа, соответствующие границам указанного диапазона при наличии аргументированного решения.

Критерии оценивания

1. Составлено уравнение теплового баланса — 2 балла
2. Правильно указано, при каком условии количество пара максимально — 2 балла
3. Предложен способ нахождения максимального значения модуля $mt$ — 2 балла
4. Правильно проведена касательная к области допустимых параметров льда — 1 балл
5. Найдено значение $mt$ — 1 балл
6. Определена максимальная масса пара — 2 балла

В п.6 имеет смысл ввести широкие 10% (1 балл) и узкие 5% (2 балла) «ворота», так как при решении обрабатывается графическая информация. Но, за ответы, попавшие в эти ворота при неверных исходных предположениях (п.п. 3-5), баллы ставиться не должны!