Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 15. В лунке

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап 20 января 2016 года · 20 януари 2016 г.

Колонтитул (7–8 класс)

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла — Региональный этап 20 января 2016 года

Колонтитул (9–11 класс)

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 20 января 2016 г.

Условие

Стержень $AB$ касается уступа $K$ полусферической лунки радиуса $R$ . Точка $A$ движется равномерно со скоростью $\upsilon$ по поверхности лунки, начиная из нижней точки $N$ , к точке $M$ . Найти зависимость модуля скорости $u$ конца стержня $B$ от угла $\alpha$ , который стержень составляет с горизонтом. Длина стержня $AB$ равна $2R$ .

Сечение полусферической лунки радиуса R с краями K (слева) и M (справа), нижняя точка N. Стержень BA опирается на уступ K, конец B выступает над краем, конец A лежит на поверхности лунки; у A — стрелка скорости υ, касательная к лунке; угол α между стержнем и горизонталью у точки A.

Отговори

Решение

Возможное решение 1 (Бычков А.)

Лунка с точками K, M, N; стержень BA касается уступа K; у точки A показана скорость υ, разложенная на составляющие вдоль стержня и перпендикулярно ему; угол α отмечен у K между стержнем и горизонталью, у A — между стержнем и штриховыми линиями, и между скоростью и её составляющей.

Скорость точки стержня, касающейся уступа К, направлена вдоль стержня и, следовательно, она равна $\upsilon\sin\alpha$ . Так как стержень жёсткий, то проекции скоростей остальных точек стержня на направление вдоль стержня также равны $\upsilon\sin\alpha$ , значит, $u_{\parallel} = \upsilon\sin\alpha$ . Перпендикулярные составляющие скоростей линейно возрастают с расстоянием от точки К. Тогда

\frac{u_{\perp}}{BK} = \frac{\upsilon\cos\alpha}{KA} \Rightarrow u_{\perp} = \upsilon\cos\alpha\frac{2R - 2R\cos\alpha}{2R\cos\alpha} = \upsilon\left(1 - \cos\alpha\right).

Скорость точки $B$ стержня равна:

u = \sqrt{u_{\parallel}^2 + u_{\perp}^2} = \sqrt{\upsilon^2\left(\sin\alpha\right)^2 + \upsilon^2\left(1 - \cos\alpha\right)^2} = \upsilon\sqrt{2\left(1 - \cos\alpha\right)} = 2\upsilon\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right).

Полная окружность радиуса R (нижняя половина — лунка, верхняя — штриховая полуокружность KLM). Стержень BA касается края K; мгновенный центр вращения L (выноска «МЦ») на верхней полуокружности, штриховые линии от L к K и к A. Углы α отмечены у точки A; у A — стрелка скорости υ, у B — стрелка вдоль стержня; нижняя точка N.

Возможное решение 2.

Мгновенный центр вращения (точка $L$ ) стержня находится на верхней полуокружности $KLM$ , как показано на рисунке. При движении стержня точка $L$ перемещается по дуге этой полуокружности.

Угловая скорость вращения стержня равна:

$\omega = \upsilon/\left(2R\right)$ . Тогда скорость конца стержня $B$ равна:

u = \omega\cdot BL = \frac{\upsilon}{2R}\sqrt{\left(KL\right)^2 + \left(BK\right)^2} = \frac{\upsilon}{2R}\sqrt{\left(2R\sin\alpha\right)^2 + \left(2R - 2R\cos\alpha\right)^2} =

= \upsilon\sqrt{2\left(1 - \cos\alpha\right)} = 2\upsilon\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right).

Критерии оценивания

Указано, что в силу недеформируемости стержня проекции скоростей $u$ и $\upsilon$ на направление вдоль стержня одинаковы $\left(u_{\parallel} = \upsilon_{\parallel}\right)$

или найдено положение мгновенного центра вращения — 3 балла
Указано, что угол $BAL$ равен $\alpha$ — 1 балл
Найдена связь между проекциями скоростей $u$ и $\upsilon$ на направление перпендикулярно стержню $\left(u_{\perp} / BK = \upsilon_{\perp}AK\right)$ или найдена угловая скорость $\omega$ — 2 балла
Выражены длины $AK$ и $KB$ через угол $\alpha$ и радиус — (1+1) балла
Получен ответ — 2 балла

Онлайн-разбор (7–8 класс)

Сегодня, 20 января, на портале online.mipt.ru составители данного комплекта проведут онлайн-разбор решений задач. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 16.00; 8 класс – 17.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале online.mipt.ru

Онлайн-разбор (9–11 класс)

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале online.mipt.ru

Оригинал в Архива: region16T.pdf