ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 16. Вода со льдом.

• $Q_{\text{макс}} = 7{,}0$ кДж; возможная масса содержимого калориметра лежит в диапазоне [0,38; 0,55] кг.

Возможное решение (Замятнин М.)

По условию масса льда в результате теплообмена не изменилась, следовательно, количество теплоты, переданное льду остывающей водой, пошло на нагревание льда (по условию процессов плавления/кристаллизации льда не происходило).

Количество теплоты, которое может отдать остывающая вода, $Q = mc(t - t_0) = mct$ ($t_0 = 0^0$C). $Q = Q_{\text{макс}}$ при максимальном по модулю значении произведения $mt$. Одинаковым значениям произведения $mt$ соответствуют точки, лежащие на прямых, проведенных из начала координат. Действительно, для них выполняется условие $t = \alpha\left(m_0/m\right)$, или $mt = \alpha m_0 = const$, где $\alpha$ - угловой коэффициент наклона прямой. Чем больше угол наклона прямой, тем больше модуль произведения $mt$. Это условие выполняется для прямой 1, проведенной из начала координат и касающейся области возможных параметров воды. Но такое выделенное водой количество теплоты приведет к плавлению льда, т.к. с учетом теплоемкости льда, которая в два раза меньше удельной теплоемкости воды, прямой 1 будет соответствовать прямая 2, имеющая в два раза больший угловой коэффициент наклона и не касающаяся области возможных параметров льда. Следовательно, максимальное количество теплоты $Q_{\text{макс}}$ будет определяться прямой 3, и соответствующей ей прямой 4, проходящей через область возможных параметров воды, для которой значение $mt = 10/6 \approx 1{,}67$ кг$^0$С. Откуда $Q_{\text{макс}} = 7{,}0$ кДж. Крайние точки пересечения прямой 4 с областью возможных параметров воды определяют диапазон масс добавленной в калориметр воды $\left[m_0/6{,}2; m_0/3{,}0\right]$ или [0,16; 0,33] кг. Точка касания прямой 3 области возможных параметров льда позволяет найти массу льда в калориметре $\left[m_0/4{,}6\right] = 0{,}22$ кг. Откуда возможная масса содержимого лежит в диапазоне [0,38; 0,55] кг.

Критерии оценивания

1. Учет отсутствия процессов плавления/кристаллизации — 1 балл
2. Уравнение для расчета количества теплоты — 1 балл
3. Идея, что равным количествам теплоты соответствуют точки, лежащие на прямой, проходящей через $t_0=0^0$C — 1 балл
4. Идея нахождения максимального $Q$ по угловому коэффициенту наклона прямой, касающейся области возможных параметров — 1 балл
5. Явное указание, что максимальное количество теплоты определяет лед — 1 балл
6. Найдено значение $Q_{\text{макс}}$ — 2 балла
7. Обоснование существования диапазона возможных масс воды — 1 балл
8. Найден диапазон масс содержимого — 2 балла

В п.п. 6 и 8 имеет смысл ввести широкие 10% (1 балл) и узкие 5% (2 балла) «ворота», так как при решении обрабатывается графическая информация. Но, за ответы, попавшие в эти ворота при неверных исходных предположениях (п.п. 3-5, 7) баллы ставиться не должны!