ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 18. Транспортёр на боку

• При $\upsilon/u \ge \mu_2$ (проскальзывание): $\operatorname{tg}\alpha = \mu_2$, $L = s\sqrt{1 + \mu_2^2}$, $A_1 = \mu_1 mgs\sqrt{1 + \mu_2^2}$; при $\upsilon/u \le \mu_2$: $\operatorname{tg}\alpha = \upsilon/u$, $L = s\sqrt{1 + (\upsilon/u)^2}$, $A_2 = \mu_1 mgs\sqrt{1 + (\upsilon/u)^2}$.

Возможное решение (Фролов А.)

Сила трения, действующая со стороны пола на брусок, направлена против вектора скорости бруска и равна $F_{\text{Тр.1}} = \mu_1 mg$. Сила трения, действующая на брусок со стороны транспортёра, $F_{\text{Тр.2}} \le \mu_2 N$, где $N = F_{\text{Тр.1}}\cos\alpha$. С другой стороны $F_{\text{Тр.2}}$ уравновешивается силой $F_{\text{Тр.1}}$: $F_{\text{Тр.2}} = F_{\text{Тр.1}}\sin\alpha$. Здесь возможны два случая.

1-й случай (есть проскальзывание между бруском и лентой):

Отсюда получаем: $\mathrm{tg}\,\alpha = \mu_2$. Этот случай возможен когда $\dfrac{\upsilon}{u} \ge \mu_2$. При этом скорость бруска вдоль ленты меньше скорости ленты, т.е. происходит проскальзывание.

2-ой случай (между бруском и лентой нет проскальзывания). Тогда $\upsilon/u = tg\alpha$. Этот случай возможен при $\upsilon/u \le \mu_2$.

Смещение бруска вдоль оси $Y$ найдём из геометрических соображений: $y = s\,\mathrm{tg}\,\alpha$. Путь, пройденный бруском в первом случае равен $L = s\sqrt{1 + tg^2\alpha} = s\sqrt{1 + \mu_2^2}$, а во втором –

Работа по перемещению бруска в обоих случаях равна $A = LF_{\text{Тр.1}} = \mu_1 mgL$, так как сила, действующая на брусок со стороны транспортера, уравновешивается силой трения со стороны пола (брусок движется с постоянной скоростью). Конкретно:

Критерии оценивания

• Указано направление действия силы $F_{\text{Тр.1}}$ — 1 балл
• Найдена реакция опоры $N$ — 1 балл
• Найдена сила трения $F_{\text{Тр.2}}$ — 1 балл
• Указаны два случая — 1 балл
• Найдено направление смещения бруска (по 1 баллу за каждый случай) — 2 балла
• Найдено смещение бруска $L$ (по 1 баллу за каждый случай) — 2 балла
• Найдена работа по перемещению бруска (по 1 баллу за каждый случай) — 2 балла