Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 20. «Тёмная материя»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап 20 января 2016 года · 20 януари 2016 г.

Колонтитул (7–8 класс)

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла — Региональный этап 20 января 2016 года

Колонтитул (9–11 класс)

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 20 января 2016 г.

Условие

Скопления звёзд образуют бесстолкновительные системы – галактики, в которых звёзды равномерно движутся по круговым орбитам вокруг оси симметрии системы. Галактика NGC 2885 состоит из скопления звёзд в виде шара (ядра радиусом $r_{\text{Я}} = 4$ кпк) и тонкого кольца, внутренний радиус которого совпадает с радиусом ядра, а внешний равен 15 $r_{\text{Я}}$ . Кольцо состоит из звёзд с пренебрежимо малой по сравнению с ядром массой. В ядре звёзды распределены равномерно.

Изображение галактики, видимой с ребра: тонкий звёздный диск с ярким светящимся центральным утолщением (ядром) на тёмном фоне с отдельными звёздами.

Было установлено, что линейная скорость движения звёзд в кольце не зависит от расстояния до центра галактики: от внешнего края кольца вплоть до края ядра скорость звёзд $\upsilon_0 = 240$ км/с. Такое явление может быть объяснено наличием несветящейся массы («тёмной материи»), распределенной сферически симметрично относительно центра галактики вне её ядра.

1) Определите массу $M_{\text{я}}$ ядра галактики.

2) Определите среднюю плотность $\rho_{\text{Я}}$ вещества ядра галактики.

3) Найдите зависимость плотности «тёмной материи» $\rho_{\text{Т}}(r)$ от расстояния до центра галактики.

4) Вычислите отношение массы «тёмной материи», влияющей на движение звёзд в диске, к массе ядра.

Примечание: 1 кпк = 1 килопарсек = $3{,}086\cdot10^{19}$ м, гравитационная постоянная $\gamma = 6{,}67\cdot10^{-11}$ Н·м $^2$ ·кг $^{-2}$ .

Отговори

Решение

Возможное решение (Коротков П.)

Из уравнения $\dfrac{\upsilon_0^2}{r_{\text{Я}}} = \dfrac{\gamma M_{\text{Я}}}{r_{\text{Я}}^2}$ находим массу ядра галактики: $M_{\text{Я}} = \dfrac{r_{\text{Я}}\upsilon_0^2}{\gamma} = 1{,}1\cdot10^{41}$ кг.

Средняя плотность материи в ядре галактики $\rho_{\text{Я}} = \dfrac{M_{\text{Я}}}{\left(4/3\right)\pi r_{\text{Я}}^3} = \dfrac{3\upsilon_0^2}{4\pi\gamma r_{\text{Я}}^2} = 1{,}35\cdot10^{-20}$ кг/м $^3$ .

Вне ядра галактики $\dfrac{\upsilon_0^2}{r} = \left(\dfrac{\gamma}{r^2}\right)\left(M_{\text{Я}} + M_T\left(r\right)\right)$ . Тогда $\upsilon_0^2 r = \gamma\left(M_{\text{Я}} + M_T\left(r\right)\right)$ .

После дифференцирования этого выражения получим: $\upsilon_0^2 dr = \gamma dM_T\left(r\right) = \gamma\rho(r)4\pi r^2 dr$ .

Из последнего уравнения найдём зависимость плотности «тёмной материи» $\rho_{\text{Т}}(r)$ от расстояния до центра галактики: $\rho(r) = \dfrac{\upsilon_0^2}{4\pi\gamma r^2} = \dfrac{M_{\text{Я}}}{4\pi r_{\text{Я}} r^2}$ .

Масса тёмной материи $M_T = \dfrac{15r_{\text{Я}}\upsilon_0^2}{\gamma} - M_{\text{Я}} = 14M_{\text{Я}}$ . Этот же результат можно получить и интегрированием: $M_T = \displaystyle\int_{r_{\text{Я}}}^{15r_{\text{Я}}}\rho(r)4\pi r^2 dr = 14M_{\text{Я}}$ .

Таким образом, искомое отношение равно 14.

Критерии оценивания

Определена масса $M_{\text{я}}$ ядра галактики — 2 балла
Определена средняя плотность $\rho_{\text{Я}}$ вещества ядра галактики — 1 балл
Найдена зависимость плотности «тёмной материи» $\rho_{\text{Т}}(r)$ от расстояния до центра галактики — 4 балла
Вычислено отношение массы «тёмной материи», влияющей на движение звёзд в диске, к массе ядра — 3 балла

Онлайн-разбор (7–8 класс)

Сегодня, 20 января, на портале online.mipt.ru составители данного комплекта проведут онлайн-разбор решений задач. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 16.00; 8 класс – 17.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале online.mipt.ru

Онлайн-разбор (9–11 класс)

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале online.mipt.ru

Оригинал в Архива: region16T.pdf