ВсОШ 2016, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 21. Четыре в кубе

• $R_0 = \dfrac{5}{12}R$; минимальная сила тока — в ветви CL, $I/2 = 0{,}1$ А; максимальная — в ветви А’В’, $I_2 = 0{,}5$ А; сила тока через перемычку AA’ равна $7I/2 = 0{,}7$ А.

  В официальном решении напечатано «$I_0 = 2I + I_1 + I_2 = 5I/2 = 6I$» — промежуточное выражение $5I/2$ не соответствует сумме; итог $6I$ и ответы сохранены как напечатаны.

Возможное решение (Иванов М.)

Изобразим эквивалентную схему и расставим токи в ветвях с учетом закона сохранения заряда и симметрии соединения резисторов.

Силу тока $I_1$ найдем, приравняв разность потенциалов между узлами A и L для ветвей AL и AСL:

$I_1R = IR+(2I - I_1)R$, откуда $I_1 = 3I/2$.

Аналогичным образом найдём силу тока $I_2$:

$U_0 = I_2R = I_1R + IR = 5IR/2$, откуда $I_2 = 5I/2$.

Сила тока $I_0 = 2I + I_1 + I_2 = 5I/2 = 6I$. Отсюда $I = 0{,}2$ А.

Теперь легко дать ответы на вопросы задачи.

Общее сопротивление цепи равно $R_0 = \dfrac{U_0}{I_0} = \dfrac{5IR}{2}\dfrac{1}{6I} = \dfrac{5}{12}R$.

Минимальная сила тока в ветви CL. Она равна $2I - I_1 = I/2 = 0{,}1$ А. Максимальная сила тока в ветви А’В’: $I_2 = 0{,}5$ А.

Сила тока, текущего через идеальную перемычку AA’, равна сумме токов через резисторы в ветвях А’C и А’В’:

Критерии оценивания

• Правильная эквивалентная схема — 2 балла
• Найдены токи через резисторы — 3 балла
• Найдено общее сопротивление — 2 балла
• Определены максимальные и минимальные токи — 2 балла
• Найден ток через перемычку — 1 балл