Съдържание

ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9.1. Серый омметр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

L Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Экспериментальный тур. Методическое пособие

Авторы задач

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Сайт физических олимпиад школьников: physolymp.ru

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Замятнин М.	1. Слободянин В.	1. Гуденко А.
2. Кармазин С.	2. Костарев В.	2. Костарев В.

Общая редакция — Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Условие

Вашему вниманию предлагаются две упрощённые модели внутреннего устройства омметра. Согласно первой, он состоит из соединённых последовательно идеального источника с напряжением $U_0$ , резистора с сопротивлением $r$ и идеального амперметра (рис. 1). Показания амперметра автоматически пересчитываются в сопротивление подключённого резистора $R_x$ , которое отображается на цифровом табло прибора. В различных диапазонах измерения сопротивлений (200; 2000; 20k; 200k; 2000k) напряжение $U_0$ источника и сопротивление $r$ резистора могут отличаться.

Схема первой модели омметра: в пунктирной рамке последовательно соединены источник U₀ (полярность − +), амперметр A и резистор r; к выходным клеммам стрелками подключён внешний резистор Rₓ. — Рис. 1

Во второй модели (рис. 2) омметр представляет собой источник тока (устройство, обеспечивающее протекание через себя постоянного тока, равного $I_0$ ), соединённый параллельно с идеальным вольтметром. Измеряемое напряжение пересчитывается в сопротивление подключённого резистора $R_{\text{х}}$ и отображается на цифровом табло прибора. При этом, в различных диапазонах измерения сопротивлений (200; 2000; 20k; 200k; 2000k) сила тока $I_0$ может отличаться.

Схема второй модели омметра: в пунктирной рамке параллельно соединены источник тока (круг со стрелкой, ток I₀) и вольтметр V; к выходным клеммам стрелками подключён внешний резистор Rₓ. — Рис. 2

Задание

1. Определите внутреннее сопротивление вольтметра для диапазонов измерений 20 В, 2000 мВ и 200 мВ.

2. Снимите зависимость напряжения $U$ на омметре, работающем в режиме измерения 20 кОм, от величины сопротивления $R_{\text{х}}$ подключённого к нему резистора.

3. Постройте график полученной экспериментальной зависимости $U(R_x)$ .

4. В качестве доказательства справедливости одной из моделей, с учётом выведенных теоретических зависимостей, постройте график функции, связывающей измеренные величины $U$ и $R_x$ в таких осях, в которых она должна быть линейной.

5. Выберите лучшую модель устройства омметра, обосновав свой выбор.

6. В предположении, что выбранная модель работает для всех диапазонов, определите параметры элементов схемы омметра для каждого из диапазонов (200; 2000; 20k; 200k; 2000k). Составьте таблицу полученных результатов и оцените их погрешность.

Указания

Чёрный мультиметр можно использовать только в режиме омметра!
Серый мультиметр можно использовать только в режиме вольтметра!
Выключайте приборы, если не проводите на них измерения.
Считать, что погрешность показаний приборов 1% или 2 единицы последнего разряда.

Оборудование. Исследуемый омметр (чёрный мультиметр, модель 830B) с проводами «крокодил», вольтметр (серый мультиметр) с проводами, переменный резистор (0–10 кОм) с проводами «крокодил», 2 листа миллиметровой бумаги для построения графиков.

Отговори

Решение

Сопротивление мультиметра в режиме вольтметра на разных диапазонах измеряем непосредственно омметром. Оно составляет $R_V = 1$ МОм. В дальнейшем, при измерениях напряжений на сопротивлениях, превышающих 20 кОм (в этом случае влияние вольтметра может вносить систематическую погрешность, превышающую 2%), необходимо вносить поправку на конечность сопротивления вольтметра.

Схема измерения: омметр (Ω в пунктирной рамке) подключён к переменному резистору Rₓ, параллельно которому подключён вольтметр V. — Рис. 14

Для исследования зависимости напряжения на выходе омметра от величины измеряемого сопротивления $R_{\text{х}}$ будем использовать переменный резистор и мультиметр в режиме вольтметра, подключённые параллельно (рис. 14). Омметр переведем в режим с пределом измерения 20 кОм.

Результаты измерений приведены в таблице 1 и на графике 1.

$R_x$ , кОм	$U$ , мВ	$R_x$ , кОм	$U$ , мВ
0,0	0,0	4,0	693,0
1,0	214,0	5,0	812,0
1,5	309,0	6,0	919,0
1,8	362,0	7,0	1015,0
2,0	398,0	8,0	1105,0
2,4	462,0	9,0	1178,0
3,0	556,0

Таблица 1: зависимость $U_2(R_x)$ .

Теоретическая зависимость $U(R_x)$ для первой модели имеет вид:

U = IR_x = \frac{U_0 R_x}{R_x + r}.

Для второй модели, с учётом идеальности внутреннего и внешнего вольтметров: $U = I_0 R_x$ .

Так как характер зависимости не линейный (график 1), вторая модель далее может не рассматриваться.

Для проверки состоятельности первой модели целесообразно линеаризировать полученные результаты, построив график, например, в осях $\dfrac{1}{U}\left(\dfrac{1}{R_x}\right)$ .

График зависимости U (мВ) от Rₓ (кОм): точки от 0 до 9 кОм, напряжение растёт нелинейно (с замедлением) от 0 до примерно 1180 мВ. — График 1

График 1/U (1/В) от 1/Rₓ (10⁻³ кОм): точки от 0,1 до 0,67 по оси абсцисс ложатся на прямую, 1/U растёт от примерно 0,85 до 3,2. — График 2

Теоретическая зависимость в этом случае имеет вид: $\dfrac{1}{U} = \left(\dfrac{1}{U_0} + \dfrac{r}{U_0 R_x}\right)$ , и график должен соответствовать линейной функции вида $y = a + bx$ , что блестяще подтверждается (график 2).

Далее, следует искать параметры элементов первой модели ( $U_0$ и $r$ ) для различных диапазонов измерений омметра.

Соберём цепь 1 (рис. 15), и снимем показания вольтметра $U_1$ для всех диапазонов (200; 2000; 20k; 200k; 2000k). Измерения можно проводить на диапазоне 20 В вольтметра.

Затем, соберем цепь 2 (рис. 16) и снимем показания вольтметра $U_2$ для всех диапазонов при фиксированном значении сопротивления внешнего резистора $R_x = R$ (например, 1 кОм). Измерения проводятся на диапазонах 2000 мВ и 200 мВ вольтметра. Получившиеся значения занесём в таблицу 2.

Цепь 1: омметр (в пунктирной рамке источник U₀, амперметр A, резистор r) замкнут на вольтметр V, показание U₁. — Рис. 15

Цепь 2: омметр (в пунктирной рамке источник U₀, амперметр A, резистор r) замкнут на резистор R, параллельно которому подключён вольтметр V, показание U₂. — Рис. 16

Диапазон омметра	$U_1$ , В, $\varepsilon < 1\%$	$U_2$ , мВ, $\varepsilon < 1\%$
200 Ом	1,47	510
2000 Ом	2,66	787
20 кОм	2,63	211
200 кОм	2,42	25,3
2000 кОм	1,33	2,6

Таблица 2: значение $U_1$ и $U_2$ на разных диапазонах омметра.

В первой цепи сила тока, текущего через источник, равна $I_1 = \dfrac{U_1}{R_V}$ , и $U_1 = U_0 - \dfrac{U_1}{R_V} r$ . Во второй цепи сила тока, текущего через источник, равна $I_2 = U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right)$ , откуда $U_2 = U_0 - U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right) r$ . Решая систему уравнений, получим точные формулы для

r = \frac{U_1 - U_2}{U_2\left(\dfrac{1}{R_V} + \dfrac{1}{R}\right) - \dfrac{U_1}{R_V}} \quad \text{и} \quad U_0 = \frac{U_1 U_2 R_V}{U_2(R_V + R) - U_1 R},

или приближенные с учётом $R_V \gg R$ :

r^* = \frac{U_1 - U_2}{\dfrac{U_2}{R} - \dfrac{U_1}{R_V}} \quad \text{и} \quad {U_0}^* = \frac{U_1 U_2 R_V}{U_2 R_V - U_1 R}.

Если считать сопротивление вольтметра бесконечно большим (модель идеального вольтметра), получается грубое приближение: $r^{**} = \dfrac{U_1 - U_2}{U_2} R$ и $U_0^{**} = U_1$ .

Результаты расчётов представлены в таблице 3.

диапазон	$U_1$ , В	$U_2$ , В	$r$ , кОм	$r^*$ , кОм	$r^{**}$ , кОм
			точная формула	приближение 1	грубое приближение
200 Ом	1,47	0,51	1,885	1,887	1,882
2000 Ом	2,66	0,787	2,385	2,388	2,379
20 кОм	2,63	0,211	11,60	11,61	11,46
200 кОм	2,42	0,0255	103,6	103,7	93,9
2000 кОм	1,33	0,0026	1043	1045	510,5

диапазон	$U_1$ , В	$U_2$ , В	$U_0$ , В	$U_0^*$ , В	$U_0^{**}$ , В
			точная формула	приближение 1	грубое приближение
200 Ом	1,47	0,51	1,47	1,47	1,47
2000 Ом	2,66	0,787	2,67	2,67	2,66
20 кОм	2,63	0,211	2,66	2,66	2,63
200 кОм	2,42	0,0255	2,67	2,67	2,42
2000 кОм	1,33	0,0026	2,72	2,72	1,33

Таблица 3: контрольные данные.

Погрешность результатов ввиду сложных аналитических зависимостей можно оценить с помощью формул грубого приближения: $\varepsilon_{U_0} \approx \varepsilon_{U_1} = 1\%$ , $\varepsilon_r \approx \varepsilon_{U_1} + \varepsilon_{U_2} + \varepsilon_R = 3\%$ .

Оригинал в Архива: finalE16.pdf