ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 1. Камни в колёсах

• 1. $L_{\min} = R(3 - \sqrt{2}),\quad L_{\max} = R(3 + \sqrt{2})$
• 2. $t = \frac{\pi R}{4v}$

Поскольку колёса имеют одинаковые размеры и не проскальзывают, они вращаются с одинаковыми угловыми скоростями $\omega = v/R$. Поэтому угол между радиус-векторами камней $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$ относительно центров колёс в любой момент времени составляет $90^{\circ}$ (рис. 15).

Радиус-вектор $\vec{r}_{21}$ второго камня относительно первого можно найти из векторного равенства

где $\vec{r}_0$ — радиус-вектор центра переднего колеса относительно центра заднего. Так как угол между векторами $\vec{r}_1$ и $\vec{r}_2$ всегда равен $90^{\circ}$, то вектор $\vec{r}_2 - \vec{r}_1$ имеет длину $\sqrt{2}R$ и вращается с постоянной угловой скоростью, равной угловой скорости колёс. Таким образом, радиус-вектор второго камня относительно первого можно найти как сумму вектора $\vec{r}_0$ (который не меняется в процессе движения велосипеда) и вектора, имеющего длину $\sqrt{2}R$ и вращающегося с угловой скоростью $\omega$. Сложение этих векторов показано на рисунке 16, причём концы векторов $\vec{r}_2 - \vec{r}_1$ и $\vec{r}_{21}$ лежат на окружности радиуса $\sqrt{2}R$ с центром в конце вектора $\vec{r}_0$.

Из рисунка 16 следует, что вектор $\vec{r}_{21}$ имеет минимальную длину в тот момент времени, когда вектор $\vec{r}_2 - \vec{r}_1$ направлен противоположно вектору $\vec{r}_0$, максимальную — когда вектор $\vec{r}_2 - \vec{r}_1$ направлен так же, как и вектор $\vec{r}_0$. Поэтому

Эти два случая показаны на рис. 17 а и б, соответственно. Длина вектора $\vec{r}_{21}$ будет максимальна, когда вектор $\vec{r}_2$ повернётся на угол $\pi/4$ по сравнению с начальным положением. Отсюда находим момент времени $t$, когда расстояние между камнями достигает максимального значения: