Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2016, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 6. Сферическая горка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2016

L Всероссийская олимпиада школьников по физике. Заключительный этап. Теоретический тур

Титульный лист

Методическая комиссия по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

L Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап

Теоретический тур

Методическое пособие

Сочи, 2016 г.

Выходные данные

Комплект задач подготовлен методической комиссией по физике при центральном оргкомитете Всероссийских олимпиад школьников

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95.

E-mail: physolymp@gmail.com

Сайт физических олимпиад школьников: physolymp.ru

Общая редакция — Слободянин В.

При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система $\LaTeX\,2_{\varepsilon}$ .

141700, Московская область, г. Долгопрудный

Московский физико-технический институт

Авторы задач

Авторы задач

9 класс	10 класс	11 класс
1. Муравьёв В.	1. Бычков А.	1. Мейлихов Е., Гуденко А.
2. Замятнин М.	2. Воробьёв И.	2. Слободянин В.
3. Гордеев З.	3. Шеронов А.	3. Аполонский А.
4. Бычков А., Замятнин М.	4. Аполонский А.	4. Замятнин М.
5. Замятнин М.	5. Шеронов А.	5. Варламов С.

Условие

Над горизонтальной поверхностью выступает сферическая горка, профиль которой представляет собой четверть окружности радиуса $R$ . В верхнюю точку горки положили небольшую шайбу массой $m$ и сообщили ей горизонтальную начальную скорость $v_0$ (рис. 6). Коэффициент трения между горкой и шайбой зависит от угла $\alpha$ по закону $\mu = \operatorname{tg}\alpha$ .

Горка — дуга окружности радиуса R с центром O под поверхностью, выступающая над горизонтальной поверхностью; в верхней точке A шайба, рядом вторая шайба, угол α от вертикали; справа стрелка g вниз. — Рис. 6

1. Через какое время $\tau$ тело достигнет горизонтальной поверхности при спуске без отрыва от горки?

2. Чему равна работа $A_{\text{тр}}$ силы трения к этому моменту?

3. При каких величинах $v_0$ шайба не оторвётся от поверхности горки?

Отговори

Решение

При произвольном угле $\alpha$ на шайбу действует сила нормального давления $N$ и сила трения:

F_{\text{тр}} = \mu N = N\operatorname{tg}\alpha.

Вектор силы реакции $Q$ будет направлен к силе $N$ под таким углом, что $\operatorname{tg}\beta = F_{\text{тр}}/N = \operatorname{tg}\alpha$ . Откуда $\beta = \alpha$ , следовательно, сила реакции $Q$ направлена вертикально. Поэтому горизонтальная составляющая скорости будет постоянной и равной $v_0$ .

Время движения:

\tau = \frac{R\cos(\pi/4)}{v_0} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{R}{v_0}.

Скорость шайбы в момент достижения горизонтальной поверхности будет равна $v_1 = \sqrt{2}v_0$ . По закону сохранения энергии:

\frac{mv_0^2}{2} + mgR + A_{\text{тр}} = \frac{mv_1^2}{2} + mgR\cos\frac{\pi}{4}.

Окончательно:

A_{\text{тр}} = -m\left(gR\frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}} - \frac{v_0^2}{2}\right).

Запишем второй закон Ньютона относительно оси, перпендикулярной горке

m\frac{(v_0/\cos\alpha)^2}{R} = mg\cos\alpha - N.

Отрыв произойдет при $N = 0$ , при этом $v_0^2 = gR\cos^3\alpha$ . Поскольку $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi/4$ , то отрыва не будет при $v_0 \leqslant \sqrt{gR/(2\sqrt{2})}$ . Заметим, что при этих значениях $v_0$ работа $A_{\text{тр}}$ всегда отрицательна, как и должно быть для работы диссипативных сил.

Оригинал в Архива: finalT16.pdf