Съдържание

ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–10 клас — Задача 7. Задание 10.1. Анизотропия

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

Олимпиада Максвелла. Региональный этап. 19 января 2017 г. · 19 януари 2017 г.

Условие

Анизотропией называется различие свойств среды (например: упругости, электропроводности, теплопроводности, скорости звука, показателя преломления света и др.) в различных направлениях внутри этой среды.

Теоретическое введение. Максимальное смещение $y$ (так называемая стрела прогиба) конца тонкой горизонтальной планки длиной $\ell$ под влиянием собственного веса можно определить по формуле:

y = \beta E^{k}\rho^{r}b^{s}\delta^{t}g^{h}\ell^{f}, \qquad (*)

Рисунок: тонкая планка длиной l закреплена одним концом в брусок; обозначены ширина b, толщина δ, вектор g вниз; пунктиром показана прогнувшаяся планка, прогиб конца обозначен y. — Рис. 1

где $k$ , $r$ , $s$ , $h$ , $f$ – некоторые целые числа, $\beta = 3/2$ – безразмерный коэффициент, $t = -2$ , $E$ – модуль Юнга, $\rho$ – плотность материала планки, $\delta$ – толщина, $b$ – ширина планки, $g$ – ускорение свободного падения.

Отметим, что формула (1) справедлива при условии малости прогиба $y$ ( $y < 0{,}5\ell$ ).

Модуль Юнга – одна из характеристик твердого тела, определяющая его упругие свойства. По закону Гука относительная деформация $\varepsilon$ стержня под действием силы $F$ , приложенной перпендикулярно плоскости его поперечного сечения площадью $S$ , равна:

\varepsilon = \Delta\ell/\ell = F/ES.

Для анизотропных тел модуль Юнга, может зависеть от направления.

Приборы и оборудование. Лист бумаги формата А4 с изображением пяти полосок на каждой из которых указан угол $\varphi$ её ориентации, относительно длинной стороны листа); чистый лист бумаги формата А4, две деревянные линейки длиной 25 – 30 см; миллиметровая бумага формата А4 (2 листа); канцелярская клипса (48 мм), ножницы.

Фотография выданного оборудования: лист А4 с пятью начерченными полосками под разными углами, две деревянные линейки, ножницы, канцелярская клипса, чистый лист и миллиметровая бумага.

Примечание. Масса листа бумаги формата А4 составляет $m = 5{,}0$ г, а его толщина $\delta = 0{,}10$ мм.

Задание (практическая часть). В работе нужно исследовать, зависит ли значение модуля Юнга от ориентации бумажной полоски относительно листа бумаги формата А4 из которого она вырезана.

1. С помощью чистого листа А4 исследуйте зависимость $y \sim b^{s}$ (напомним, что s – целое число). Приведите рисунок, поясняющий, как вы проводите данную часть эксперимента.

2. Руководствуясь экспериментальными результатами и методом размерностей определите показатели степеней в формуле (1).

Примечание: при малых деформациях полоски бумаги $y \sim F$ , где $F$ – сила, приложенная к полоске.

3. Аккуратно вырежьте из выданного листа бумаги полоски (угол их ориентации относительно длинной стороны листа указан на самих полосках). Полоски нельзя гнуть, мять, т.к. в противном случае вы можете сильно исказить результаты эксперимента.

4. Для каждой полоски, закреплённой с помощью клипсы на краю стола, снимите зависимость стрелы прогиба $y$ от длины $\ell$ выступающей за край стола части (рис. 2). Выполните измерения для 5 – 6 различных значений $\ell$ .

Фотография: бумажная полоска зажата клипсой на краю стола и выступает за край; её прогиб измеряют вертикальной линейкой, приставленной к горизонтальной линейке. — Рис. 2

5. Для каждой полоски постройте график $y(\ell^{f})$ и из него определите значение модуля Юнга $E(\varphi)$ .

6. Постройте график зависимости модуля Юнга от угла $\varphi$ . Для каждого значения модуля Юнга изобразите «крест ошибок».

7. Сделайте вывод, наблюдается ли анизотропия модуля Юнга.

Отговори

Решение

Рекомендации организаторам

Трафарет из прикреплённого файла необходимо распечатать на офисной бумаге формата А4. Каждый участник получает два таких листа (один из них – запасной).

Канцелярские клипсы размером 48 мм подбирались для возможности их крепления на столе со столешницей толщиной 22 мм.

Возможное решение

На чистом листе бумаги делаем прорези, которые делят его на полоски разной ширины (рис. 3). Убеждаемся, что в пределах погрешности (связанной с неоднородностью бумаги) стрела прогиба не зависит от ширины полосок, следовательно, в формуле (*) показатель степени $s = 0$ .
Так как $y \sim F$ , а $F \sim g$ , то $h = 1$ . Тогда, руководствуясь соображениями размерности, получаем:

y = 3\rho g\ell^4/2E\delta^2.

В координатах $(y, \ell^4)$ график зависимости должен быть прямой линией.

Фотография: лист бумаги с прорезями, разделяющими его на полоски разной ширины, прижат линейкой к краю стола; полоски свисают. — Рис. 3

Снимаем зависимость $y(\ell)$ . Строим линеаризованные графики $y(\ell^4)$ для каждой из полосок.
Строим график зависимости модуля Юнга от угла $\varphi$ .
Из графика следует, что $E(0) - E(\varphi) > \sigma(E)$ , где $\sigma(E)$ – погрешность измерения. Делаем вывод, что для модуля юнга $E$ существует анизотропия.

Примечание. Анизотропию бумаги можно пронаблюдать непосредственно (рис. 4).

Фотография: пять бумажных полосок, вырезанных под разными углами, закреплены линейкой на краю стола и свисают с разным прогибом. — Рис. 4

Критерии оценивания

Исследована зависимость $y(b)$ и установлено что s = 0 2 балла
Методом размерностей получено что $y \sim \ell^4$ 2 балла
Снята зависимость $y(\ell)$ 3 балла
- для каждой полоски снято 5 и более точек – 3 балла
- если число точек 3 – 4, то – 1 балл
- если число точек 1 – 2, то – 0 баллов
Построены линеаризованные графики для каждой зависимости $y(\ell)$ 5 баллов (по 1 баллу за каждую зависимость для полоски с соответствующим углом $\varphi$ )
Построен график зависимости $E(\varphi)$ 1 балла
Посчитаны погрешности измерений 1 балл
Сделан вывод о существовании анизотропии модуля Юнга 1 балл (без ссылки на то, что $E(0) - E(\varphi) > \sigma(E)$ , этот балл не ставится).

Оригинал в Архива: region17E.pdf