ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–10 клас — Задача 8. Задание 10.2. Что внутри?

• 1) U = 9,0 В, R = 1,5 МОм

  Авторский результат из возможного решения; зависит от выданного ящика.

• 2) U0 ≈ 2,6 В, r0 ≈ 1 МОм

  В официальном решении напечатано «≈ 1 мОм» — очевидно, имеются в виду мегаомы (МОм); в тексте решения оставлено как напечатано.

Рекомендации организаторам

• выдавать одинаковые мультиметры (типа м838В, м830, м832, м838) из которых обязательно!!!! вынуть предохранители, для исключения их использования в режиме амперметра.
• внутри черного ящика помещается батарейка типа «Крона» с колодкой, к которой последовательно подключается резистор с сопротивлением 1,50 МОм (следует отбраковать из партии резисторы с номиналами, отличающимися более чем на 2%).
• выводы из черного ящика целесообразно снабдить разъемами типа «крокодил».

Возможное решение.

К выводам ящика подключаем вольтметр и снимаем его показания $U_1 = 3{,}60$ В. Для получения дополнительной информации необходимо провести еще измерения, например, подключив два вольтметра, соединенных последовательно. В этом случае они показывают по $U_2 = 2{,}57$ В. Сумма показаний вольтметров не совпадает с $U_1$. Это наводит на мысль, что сопротивление внутри ящика сравнимо по величине с сопротивлением вольтметра.

Сопротивление вольтметра в режиме 20 В измеряется непосредственно вторым мультиметром, включенным в режим мегаомметра. Оно составляет $R_{\mathrm{V}} = 1{,}00$ МОм.

Теоретические зависимости напряжений на одном и двух включенных последовательно вольтметрах имеют вид: $U_1 = U\dfrac{R_V}{R + R_V}$, и $U_2 = U\dfrac{R_V}{R + 2R_V}$. Решая систему относительно $U$ и $R$, получим: $U = \dfrac{U_1U_2}{U_1 - U_2}$ = 9,0 В и $R = R_V\dfrac{2U_2 - U_1}{U_1 - U_2}$ = 1,5 МОм. К аналогичным значениям могут привести измерения, сделанные двумя вольтметрами, соединенными параллельно, в этом случае их показания составляют по $U_3 = 2{,}25$ В.

Если вольтметр подключить к омметру непосредственно (рис. 2), то он покажет напряжение $U_4$, равное

Если собрать последовательную цепь, состоящую из омметра, серого ящика и вольтметра, таким образом, чтобы напряжения серого ящика и омметра складывались (рис. 3), то вольтметр покажет напряжение $U_5$, равное

Решая систему уравнений (1), (2), получаем:

Подставляя найденное значение $r_0$ в (1), получим:

Следует обратить внимание на то, что при измерении больших сопротивлений необходимо избегать соприкосновения пальцев рук с электрическими контактами приборов, так как сопротивление тела человека меньше или сравнимо с 1 МОм и может внести существенное искажение в измеряемую величину. В этом случае за оценку погрешности баллы не ставятся.

Критерии оценивания

1. Измерение напряжения $U_1$ одним вольтметром 1 балл
2. Измерение напряжения $U_2$ или $U_3$ двумя вольтметрами 1 балл
3. Измерение омметром сопротивления вольтметра в режиме 20 В 1 балл
4. Получена теоретическая зависимость для $R$ 1 балл
5. Получена теоретическая зависимость для $U$ 1 балл
6. Вычислено напряжение $U$ ±2% 1 балл; ±5% 0,5 балла
7. Вычислено сопротивление $R$ ±2% 1 балл; ±5% 0,5 балла
8. Предложена методика измерения напряжения $U_0$ и сопротивления $r_0$ 2 балла
9. Вычислено сопротивление $r_0$ 2 балла
10. Вычислено напряжение $U_0$ 2 балла
11. Оценена погрешность измеренных величин ($U$, $r$, $U_0$, $r_0$) (по 0,5 балла за каждую) 2 балла