Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 13. Кольца Ауди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года · 17 януари 2017 г.

7 класс

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года

7 класс

9 класс

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 17 января 2017 г.

9 класс

Условие

$N$ одинаковых колец соединены так, что между всеми точками их пересечения обеспечен электрический контакт (места контактов отмечены жирными точками). Центры всех колец лежат на одной прямой (рис. 3). Какое сопротивление $R_{\text{Э}}$ покажет омметр, подключенный к точкам $A$ и $B$ этой цепи, если при подключении к диаметрально противоположным точкам уединённого кольца он показывает сопротивление $R_0$ ? Считать $N > 3$ .

Цепочка из N одинаковых пересекающихся колец, центры которых лежат на горизонтальной прямой; точки пересечения колец отмечены жирными точками, в середине цепочки многоточие. От крайних точек A и B вверх отходят дуги подводящих проводов; под цепочкой скобка с подписью «N колец».

Отговори

Решение

Возможное решение (1)

В силу симметрии схемы относительно оси, проходящей через узлы $A$ и $B$ , в цепи не будет токов, идущих из верхней половины цепи в нижнюю (и наоборот). Следовательно, все центральные узлы можно разъединить вдоль оси, проходящей через $A$ и $B$ . Тогда схема может быть сведена к набору последовательных и параллельных участков, состоящих из резисторов сопротивлениями $R/3$ и $R/6$ . Верхняя половина упрощенной схемы приведена на рис 4.

Верхняя половина упрощённой схемы: цепочка резисторов R/3, R/6, …, соединённых последовательно по верхней линии, с треугольниками из двух резисторов R/6 под ними; справа пунктир и последний резистор. — Рис. 4

Тогда сопротивление верхней/нижней части системы, состоящей из $N$ колец, равно:

R_{\text{Э}_{\text{верх}}} = \frac{R}{3} + (N - 2)\frac{\frac{R}{6}\frac{R}{3}}{\frac{R}{6} + \frac{R}{3}} + \frac{R}{3} = 4\left(\frac{N + 4}{9}\right)R_0,

а эквивалентное сопротивление всей цепи

R_{\text{Э}} = \frac{R_{\text{Э}_{\text{верх}}}}{2} = 2\left(\frac{N + 4}{9}\right)R_0.

Критерии оценивания

Выражены сопротивления участков кольца 2 балла
Обоснован разрыв центральных узлов 2 балла
Приведена упрощенная эквивалентная схема 2 балла
Найдено сопротивление элементарного треугольника цепи 2 балла
Найдено эквивалентное сопротивление всей цепи 2 балла

Возможное решение (2)

Если сопротивление одного кольца $R_0$ , то сопротивление проводника, имеющего длину равную длине кольца, будет равно $R = 4R_0$ . Тогда сопротивление проводника длиной равной трети и шестой части кольца будет равно $R/3$ и $R/6$ соответственно. Обозначим минимальный ток, текущий в ветвях за $I$ , тогда в силу симметрии схемы относительно оси, проходящей через узлы $A$ и $B$ , и с учетом закона Ома, можно расставить токи, текущие в остальных ветвях схемы, как указано на рис. 5.

Цепочка пересекающихся колец между узлами A и B с расставленными токами: на входе 6I, по крайним дугам 3I, по верхним и нижним дугам средних колец 2I, по внутренним дугам I (стрелки направлений); в середине многоточие, под средними кольцами скобка «N - 2». — Рис. 5

Напряжение $U$ между узлами $A$ и $B$ равно: $U = 3I\dfrac{R}{3} + (N - 2)2I\dfrac{R}{6} + 3I\dfrac{R}{3} = IR\left(\dfrac{4 + N}{3}\right)$ ,

а эквивалентное сопротивление всей цепи равно: $R_{\text{Э}} = \dfrac{U}{6I} = 2\left(\dfrac{4 + N}{9}\right)R_0$ .

Критерии оценивания

Выражены сопротивления участков кольца 2 балла
Расставлены токи с учетом симметрии и закона Ома 4 балла
Выражено общее напряжение через токи и сопротивления ветвей 2 балла
Найдено эквивалентное сопротивление 2 балла

Онлайн-разбор решений

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region17T.pdf