Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 14. Стакан-поплавок

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года · 17 януари 2017 г.

7 класс

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года

7 класс

9 класс

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 17 января 2017 г.

9 класс

Условие

В цилиндрическом сосуде площадь дна которого $S_2$ плавает тонкостенный цилиндрический стакан с площадью дна $S_1$ и высотой $h = 24$ см. Стакан начинают медленно погружать в воду, измеряя зависимость приложенной силы $F$ от перемещения $x$ стакана вниз относительно дна сосуда (рис. 1). Оказалось, что силе $F_1 = 1{,}0\ \text{Н}$ соответствуют два значения $x$ : $x_{1,1} = 1{,}5\ \text{см}$ и $x_{1,2} = 7{,}5\ \text{см}$ , а силе $F_2 = 2{,}0\ \text{Н}$ значения $x$ : $x_{2,1} = 3{,}0\ \text{см}$ и $x_{2,2} = 7{,}0\ \text{см}$ . Полагая, что плотность воды $\rho = 1{,}0$ г/см $^3$ , а ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ , вычислите:

Сосуд с водой плотности ρ, площадь дна сосуда S₂. В воде плавает узкий стакан с дном площадью S₁; сверху на стакан вертикально вниз действует сила F (стрелка). — Рис. 1

а) массу стакана;

б) площадь $S_1$ дна стакана;

в) площадь $S_2$ дна сосуда.

Объемом стекла, из которого изготовлен стакан, можно пренебречь по сравнению с объемом воды, которой можно наполнить стакан.

Отговори

Решение

Возможное решение. Пусть стакан сместился вниз относительно дна сосуда на расстояние $x$ . При этом уровень воды в сосуде поднялся на $xS_1/(S_2 - S_1)$ , а глубина погружения стакана в воду увеличилась на $xS_2/(S_2 - S_1)$ . При этом сила Архимеда увеличивается на

F = \rho g x\frac{S_1S_2}{S_2 - S_1} \qquad (1)

Связь между приложенной к стакану силой $F$ (она в точности равна увеличению силы Архимеда) и его перемещением $x$ является линейной (1) до момента, пока уровень воды не сравняется с верхним краем стакана. В этот момент величина силы $F$ равна

F^* = (\rho S_1h - m)g.

В отсутствие внешней силы $F$ стакан выступал из воды на $h_1 = h - m/(\rho S_1)$ , поэтому, для того, чтобы уровень воды сравнялся с верхним краем, его необходим переместить вниз на

x^* = \left(h - \frac{m}{\rho S_1}\right)\frac{S_2 - S_1}{S_2}

Далее, при перемещении стакана вниз на $\Delta x$ более, чем $x^*$ (то есть всего на $x^* + \Delta x$ ) приложенная сила уменьшается на величину $\Delta F$ веса воды, втекающей в стакан. При этом $\Delta F = \rho S_2\Delta xg$ , а приложенная к стакану сила

F = F^* - \Delta F = (\rho S_1h - m)g - \rho S_2g\Delta x. \qquad (2)

Таким образом, при $x > x^*$ сила линейно уменьшается до нуля при

x_{\max} = x^* + \Delta x_{\max} = h - \frac{m}{\rho S_1}.

График зависимости F (Н) от x (см): от начала координат 0 прямая линейно растёт до максимума F* при x = x*, затем линейно убывает до нуля при x = xmax; на участках отмечены точки, к оси F* и x* проведены пунктирные линии. — Рис.2

Отметим, что максимальное смещение стакана до момента, когда он начинает “тонуть”, в точности равно расстоянию $h_1$ от верхнего края стакана до уровня воды в начальный момент.

На рисунке представлен график зависимости $F(x)$ согласно условию задачи. Легко видеть, что

x_{\max} = h_1 = h - \frac{m}{\rho S_1} = 8\ \text{см}; \qquad (3)

x^* = h_1\left(1 - \frac{S_1}{S_2}\right) = 6\ \text{см}; \qquad (4)

F^* = \rho S_1\left(h - \frac{m}{\rho S_1}\right)g = 4\ \text{Н}. \qquad (5)

Из (3) следует $\dfrac{m}{\rho S_1} = 16\ \text{см}$ ; из (4) получим $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{1}{4}$ . Подставляя $\dfrac{m}{\rho S_1}$ в (5) найдём

$S_1 = 50$ см $^2$ , $S_2 = 200$ см $^2$ , $m = 0{,}8$ кг.

Критерии оценивания

Связь величины подъёма уровня воды в сосуде с перемещением стакана 1 балл
Связь величины глубины погружения стакана с его перемещением 1 балл
Уравнение (1) 1 балл
Идея о втекании воды в стакан 1 балл
Уравнение (2) 1 балл
Нахождение $F^*$ , $x^*$ , $x_{\max}$ 3 балла
Ответ 2 балла

Онлайн-разбор решений

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region17T.pdf