Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 15. Вязкий валик

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года · 17 януари 2017 г.

7 класс

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года

7 класс

9 класс

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 17 января 2017 г.

9 класс

Условие

Однородный цилиндр массы $m$ и радиуса $R$ касается двух параллельных длинных вертикальных пластин, движущихся с постоянными скоростями $v_1$ и $v_2$ вверх (рис. 1). Между пластинами и поверхностью цилиндра существует вязкое трение, сила его пропорциональна относительной скорости соприкасающихся поверхностей ( $\vec{F}_{\text{тр}} = -\gamma\vec{\upsilon}_{\text{отн}}$ ). Коэффициенты вязкого трения для первой и второй пластин равны $\gamma_1$ и $\gamma_2$ соответственно.

1. Найдите установившуюся угловую скорость цилиндра, а также скорость его центра.

Две вертикальные длинные пластины: левая движется вверх со скоростью v₁ (коэффициент трения γ₁), правая — вверх со скоростью v₂ (коэффициент γ₂). Между ними зажат цилиндр массы m радиуса R; справа стрелка вектора g вниз. — Рис. 1

2. При каком условии цилиндр будет двигаться вверх?

Отговори

Решение

Окружность с центром O и горизонтальным пунктирным диаметром AB. У точки A стрелки v₁ вверх и v_A вниз, у точки B — v₂ вверх и v_B вниз; от центра O вниз стрелка v, вокруг O дуговая стрелка ω по часовой стрелке. — Рис. 2

Возможное решение (Семенин Н.).

Примем за положительное направление движения цилиндра – вниз, а за положительное направление вращения – по часовой стрелке. Тогда скорость точки $A$ цилиндра, соприкасающейся с левой доской

Окружность с центром O и горизонтальным пунктирным диаметром AB; в точке A вверх направлена сила F₁, в точке B вверх — сила F₂, из центра O вниз — сила mg. — Рис. 3

v_A = v - \omega R.

Аналогично для точки $B$ цилиндра, соприкасающейся с правой доской (рис. 2):

v_B = v + \omega R

При установившемся движении сумма сил, приложенных к цилиндру, равна нулю, а также равен нулю суммарный момент сил трения относительно оси $O$ цилиндра (рис. 3):

mg = F_1 + F_2

F_1R = F_2R

Подставив

$F_1 = \gamma_1(v_1 + v_A) = \gamma_1(v_1 + v - \omega R)$ , $F_2 = \gamma_2(v_2 + v_B) = \gamma_2(v_2 + v + \omega R)$ ,

получаем систему уравнений

\begin{cases} mg = \gamma_1(v_1 + v - \omega R) + \gamma_2(v_2 + v + \omega R) \\ \gamma_1(v_1 + v - \omega R) = \gamma_2(v_2 + v + \omega R), \end{cases}

решая которую, находим

\omega = \frac{mg}{4R}\left(\frac{1}{\gamma_2} - \frac{1}{\gamma_1}\right) + \frac{v_1 - v_2}{2R},

v = \frac{mg}{4}\left(\frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2}\right) - \frac{v_1 + v_2}{2}.

Как видно из выражения для скорости, цилиндр движется вверх, если

v_1 + v_2 > \frac{mg}{2}\left(\frac{1}{\gamma_1} + \frac{1}{\gamma_2}\right).

Критерии оценивания

Записаны выражения для скоростей точек $A$ и $B$ – по 1 баллу за точку 2 балла
Записано равенство сил, действующих на цилиндр + правило моментов по 1 баллу за точку 2 балла
Получена система, из которой определяется $v$ и $\omega$ 2 балла
Проведены необходимые преобразования и найдены $v$ и $\omega$ по 1,5 балла за каждую физическую величину 3 балла
Найдено условие движения цилиндра вверх 1 балл

Онлайн-разбор решений

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region17T.pdf