Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 17. Сосуд Мариотта

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года · 17 януари 2017 г.

7 класс

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года

7 класс

9 класс

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 17 января 2017 г.

9 класс

Условие

Сосуд Мариотта представляет собой герметически закрытый цилиндрический сосуд с площадью дна $S$ , в верхнюю крышку которого вставлена открытая с обоих концов тонкая трубка (рис. 1). Нижний конец трубки расположен на расстоянии $H$ от верхней крышки сосуда. Около дна сосуда в его боковую стенку вставлена горизонтальная трубка с краном. В начальный момент времени высота уровня воды относительно нижнего конца вертикальной трубки равна $x_{\text{о}}$ , а сама эта трубка полностью заполнена воздухом. Кран закрыт. В момент времени $t = 0$ кран открывают, и вода начинает вытекать из сосуда, а пузырьки воздуха проникать в сосуд через вертикальную трубку. Расход вытекающей жидкости равен $\omega$ (объем в единицу времени). Температура сосуда $T$ , атмосферное давление $p_{\text{о}}$ , молярная масса $M$ воздуха известны и остаются постоянными. Давлением насыщенных паров воды пренебречь. Считайте, что в ходе всего эксперимента уровень жидкости в сосуде не опустился ниже конца вертикальной трубки. Плотность воды равна $\rho$ .

Закрытый цилиндрический сосуд с водой, крышка площади S; через крышку вставлена вертикальная трубка, нижний конец которой на глубине H под крышкой; уровень воды выше конца трубки на x₀. Внизу сбоку горизонтальная трубка с краном К, из которой вытекает вода (ω). — Рис. 1

1. Чему равна масса $m_0$ воздуха в сосуде над водой в начальный момент времени?

2. Чему равна скорость $\mu$ изменения массы воздуха в сосуде в начальный момент времени?

3. С какой скоростью $\beta$ изменяется $\mu$ (скорость изменения массы воздуха в сосуде) в процессе вытекания воды из него?

Отговори

Решение

Возможное решение (Кармазин С.). Пусть $\omega$ – секундный расход воды, вытекающей из сосуда Мариотта (рис. 2). Скорость опускания уровня воды в сосуде $\upsilon = \omega/S$ . Таким образом, объем воздуха над водой в сосуде изменяется со временем по закону:

V = S(H - x_0) + \omega t, \qquad (1)

Тот же сосуд Мариотта в процессе вытекания: крышка площади S, вертикальная трубка на глубину H под крышку; пунктиром отмечены начальный уровень воды (x₀ над концом трубки) и текущий уровень x; внизу сбоку трубка с краном К, вытекающая струя ω. — Рис. 2

а уровень воды $x$ :

x = x_0 - \upsilon t = x_0 - \frac{\omega}{S}t.

Давление воздуха над поверхностью воды изменяется со временем по закону:

p = p_0 - \rho gx = p_0 - \rho gx_0 + \rho g\frac{\omega}{S}t. \qquad (2)

Найдём массу воздуха над водой:

m = \frac{M}{RT}pV = \frac{M}{RT}\left(p_0 - \rho gx_0 + \rho g\frac{\omega}{S}t\right)\left[S(H - x_0) + \omega t\right] =

\frac{M}{RT}S(H - x_0)(p_0 - \rho gx_0) + \frac{M}{RT}\omega\left[(p_0 - \rho gx_0) + \rho g(H - x_0)\right]t + \frac{M}{RT}\frac{\rho g(\omega t)^2}{S}.

Масса воздуха в сосуде над водой в начальный момент времени

m(0) = \frac{M}{RT}S(H - x_0)(p_0 - \rho gx_0).

Скорость изменения массы воздуха в сосуде в начальный момент времени

\mu(0) = \frac{dm}{dt} = \frac{M}{RT}\omega[p_0 + \rho gH - 2\rho gx_0].

Скорость $\beta$ изменения $\mu$ (скорости изменения массы воздуха в сосуде)

\beta = \frac{d\mu}{dt} = 2\frac{M}{RT}\frac{\rho g\omega^2}{S}.

Критерии оценивания

Найден объем воздуха над водой в сосуде 1 балл
Найден уровень воды в сосуде 1 балл
Найдено давление воздуха над поверхностью воды 2 балла
Найдена масса воздуха над водой 3 балла
Найдена масса воздуха в сосуде над водой в начальный момент 1 балл
Найдена скорость изменения массы воздуха в сосуде 1 балл
Найдена скорость изменения скорости изменения массы воздуха 1 балл

Онлайн-разбор решений

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region17T.pdf