Съдържание

Условие Отговори Решение

ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 19. Сообщающиеся сосуды

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года · 17 януари 2017 г.

7 класс

Олимпиада имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап. 17 января 2017 года

7 класс

9 класс

Региональный этап всероссийской олимпиады школьников по физике. 17 января 2017 г.

9 класс

Условие

В двух одинаковых сообщающихся вертикальных цилиндрических сосудах находится жидкость плотности $\rho$ . Первоначальный уровень жидкости в сосудах $l = 10$ см от дна (рис. 1). Сосуды соединены через отверстия в их дне маленькой трубочкой пренебрежимо малого объема. В левом сосуде на высоте $2l$ от дна находится лёгкий поршень, который может свободно перемещаться без трения о стенки. Под поршнем находится воздух при атмосферном давлении $p_0 = 2\rho gl$ . С момента времени $t = 0$ в левый сосуд в пространство над поршнем начинает поступать жидкость плотности $\rho$ , причем скорость прироста её уровня над поршнем составляет $\upsilon = 0{,}2$ мм/с.

Очень мелкий (в оригинале почти нечитаемый) рисунок: два одинаковых вертикальных цилиндрических сосуда, внизу в каждом слой жидкости; в левом сосуде поршень, над ним и под ним подписи p₀, над левым сосудом трубка, из которой поступает жидкость; в правом сосуде подпись p₀; между сосудами размерная стрелка l, справа вектор g вниз. — Рис. 1

1) С какой скоростью движется поверхность жидкости в правом сосуде в начале процесса?

2) С какой скоростью и в каком направлении (вверх или вниз) движется поверхность жидкости над поршнем в начале процесса?

3) На какой высоте $z$ от дна сосуда будет находится поверхность жидкости над поршнем

а) через 600 с? б) через 1100 с?

Температуру в сосудах можно считать постоянной. Жидкость из сосудов не выливается.

Отговори

Решение

Возможное решение (Аполонский А.). 1) Пусть через малое время $\Delta t$ после начала поступления жидкости на поршень высота столба жидкости в правом цилиндре возросла на $\Delta h$ . Из условия гидростатического равновесия в сосудах

p_0 + \rho g(l + \Delta h) = p_0 + \rho g\upsilon\Delta t + \rho g(l - \Delta h).

Из этого уравнения находим скорость поднятия жидкости в правой части сосуда в начале процесса:

\upsilon_{\text{П}} = \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{\upsilon}{2}.

Пусть $S$ – площадь поршня. Из закона Бойля-Мариотта

\bigl(p_0lS = (p_0 + \rho g\upsilon\Delta t)HS\bigr)

найдем высоту $H$ столба воздуха в левом сосуде:

H = \frac{l}{1 + \dfrac{\rho g\upsilon t}{p_0}} = \frac{l}{1 + \dfrac{\upsilon t}{2l}}.

Здесь $t$ – время поступления жидкости в левый сосуд. Тогда поверхность жидкости над поршнем находится на высоте $z$ от дна сосуда.

z(t) = (l - h) + H + \upsilon t = l - \frac{\upsilon t}{2} + \frac{l}{1 + \dfrac{\rho g\upsilon t}{p_0}} + \upsilon t = l + \frac{\upsilon t}{2} + \frac{l}{1 + \dfrac{\upsilon t}{2l}}. \qquad (1)

При малых $t$ высота

z(t) \approx \left(l + \frac{\upsilon t}{2}\right) + \left(l - \frac{\upsilon t}{2}\right) = 2l,

то есть в начале процесса скорость изменения высоты поверхности жидкости близка к нулю.

3а) Из формулы (1) следует. Что при $t = 600$ с искомая высота $z = 22{,}25$ см.

3б) Формальная подстановка даёт, что через $t = 1\,100$ с в левом цилиндре под поршнем уровень жидкости опустится на $h = \dfrac{\upsilon t}{2} = 11$ см. Но, это больше $l$ . Следовательно, к этому времени вся вода из под поршня перетечет в правую часть, а воздух под поршнем "пробулькнет" и поршень опустится на дно.

Тогда высота поверхности жидкости над поршнем окажется $z = \upsilon t = 22$ см.

Критерии оценивания

Условие гидростатического равновесия 2 балл
Дан ответ к пункту 1 – (формула + число) 0.5 + 0.5 балла 1 балл
Записан закон Бойля-Мариотта 1 балл
Получено выражение для высоты поверхности жидкости от времени 2 балла
Дан ответ к пункту 2 1 балл
Дан ответ к пункту 3а) 1 балл
Указано, что воздух "пробулькивает" и поршень опускается на дно 1 балл
Дан ответ к пункту 3б) 1 балл

Онлайн-разбор решений

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region17T.pdf