ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 4. Поплавок

• M = 50,544 кг; ρср = 93,6 кг/м³

Возможное решение (Михайлов З.). Масса $m_1$ жестяного квадрата со стороной $b$ равна $m_b = b^2 d\rho = 0{,}702$ кг. Каждая из 6 сторон куба состоит из 12 таких квадратов (8 снаружи и 4 в отверстиях). Следовательно, масса всего куба $M = 6 \cdot 12 \cdot m_b = 50{,}544$ кг.

Объем $V$ поплавка, с учетом вырезанных полостей, $V = 27b^3 - 7b^3 = 20b^3 = 0{,}54\ \text{м}^3$.

Средняя плотность поплавка $\rho_{\text{ср}} = \dfrac{M}{V} = 93{,}6\ \text{кг/м}^3$.

Критерии оценивания

1. Определена площадь поверхности куба 2 балла
2. Формула связи массы, плотности и объема куба 1 балл
3. Определена масса куба 3 балла
4. Найден объем поплавка 2 балла
5. Рассчитана средняя плотность 2 балла

Решение (2). Сначала найдем массу поплавка. Он состоит из 6 «внешних» пластин массой

и 24 «внутренних» частей массой $24m_b = 24b^2 d\rho = 16{,}85$ кг.

Масса всего поплавка $M = 6m_a + 24m_b = 50{,}544$ кг.

Объем поплавка $V = a^3 - 7b^3 = 0{,}54\ \text{м}^3$.

Средняя плотность поплавка равна его массе, деленной на объем пространства, который он занимает: $\rho_{\text{ср}} = \dfrac{M}{V} = 93{,}6\ \text{кг/м}^3$.

Критерии оценивания

1. Рассчитан объем или масса одной «внешней» пластины 2 балла
2. Рассчитан объем или масса одной малой «внутренней» пластины 2 балла
3. Рассчитана масса $M$ поплавка 1 балл
4. Рассчитан объем $V$ всего поплавка 3 балла
5. Найдено численное значение средней плотности $\rho_{\text{ср}}$ 2 балла