ВсОШ 2017, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9. Два осколка

• $L_{\max} = 2H + \frac{\upsilon_0^2}{g}$

  По примечанию официального решения этот ответ реализуется при $\upsilon_0^2 > 2gH$; в противном случае $L = 2\upsilon_0\sqrt{2H/g}$.

Возможное решение (1). (Слободянин В.). Пусть первый осколок имел проекцию скорости на вертикальную ось $\upsilon_{y,0}$, а на горизонтальную ось $\upsilon_{x,0} = \sqrt{\upsilon_0^2 - \upsilon_{y,0}^2}$ и летел до падения в течение времени $t_1$. Тогда второй осколок имел проекцию скорости на вертикальную ось – $\upsilon_{y,0}$, а на горизонтальную ось $-\upsilon_{x,0} = -\sqrt{\upsilon_0^2 - \upsilon_{y,0}^2}$ и летел до падения в течение времени $t_2$.

Расстояние между упавшими осколками $L = \upsilon_{x,0}(t_1 + t_2)$.

Из кинематических соотношений (в проекции на вертикальную ось) получим два квадратных (относительно времени) уравнения:

Их корни равны:

Отсюда

Возведём в квадрат это уравнение и приведём подобные:

Это биквадратное уравнение дискриминант которого

равен нулю тогда, когда расстояние $L$ достигнет максимума. Следовательно,

Примечание. В уравнении (5): $L = \dfrac{2}{g}\sqrt{(V_0^2 - V_{0y}^2)(V_{0y}^2 + 2gH)}$ выражение под корнем – перевёрнутая парабола, которая принимает наибольшее значение строго посредине между корнями $V_0^2$ и $(-2gH)$. При этом сомножители под радикалом равны. Отсюда

Возможное решение (2). 1) Из закона сохранения механической энергии следует, что на землю осколки упадут с одинаковой скорость $\upsilon_1$:

При этом сумма траекторий их полёта будет представлять траекторию полёта тела, брошенного с начальной скоростью $\upsilon_1$.

2. Дальность полёта тела, брошенного под углом 45$^0$ к горизонту максимальна и равна

(начальная и конечная точки траектории лежат на одной высоте).

Решая совместно полученные уравнения, найдём:

Примечание!!! Этот вариант решения реализуется, если $\upsilon_0^2 > 2\mathrm{gH}$. В противном случае тело не полетит по траектории «оптимальной» параболы. И ответом будет $L = 2\upsilon_0\sqrt{\dfrac{2H}{g}}$.

Критерии оценивания (требует дополнительного согласования с учетом Примечания).

Для решения (1)

1. Записано выражение для $\upsilon_{x,0}$ через $\upsilon_{y,0}^2$ обоих осколков 1 балл
2. Дано выражение $L = \upsilon_{x,0}(t_1 + t_2)$ для расстояния между упавшими осколками 1 балл
3. Записаны уравнения (1) и (2) для нахождения времён 2 балла
4. Решены уравнения (1) и (2) относительно времён $t_1$ и $t_2$ 2 балла
5. Получено уравнение (5) 2 балла
6. Найдена максимальная дальность разлёта осколков 2 балла

Для решения (2)

1. Отмечено, что на землю осколки упадут с одинаковой скоростью 2 балла
2. Отмечено, что сумма траекторий их полёта будет представлять траекторию полёта тела, брошенного с начальной скоростью $\upsilon_1$. 2 балла
3. Записан закон сохранений механической энергии 4 балла
4. $L_{\max}$ выражена через $\upsilon_1$ 2 балла
5. Получено окончательное выражение для $L_{\max}$ 2 балла