ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1. 10 класс · Задание 1 · На льдине

Возможное решение Т-10-1

Перейдём в инерциальную систему отсчёта, в которой льдина неподвижна. В этой системе отсчёта скорость камня $\vec v_\text{отн}=\vec v_\text{камня}-\vec v_\text{льдины}$. В начальный момент скорость камня относительно льдины $\sqrt3v_0$.

Когда скольжение прекратится, скорость камня относительно льдины будет равна нулю. В этой системе отсчёта вся кинетическая энергия камня перейдёт в теплоту:

Движение камня в системе отсчёта льдины равноускоренное: на камень действует постоянная сила трения скольжения, направленная против относительной скорости. Так как льдина движется равномерно, движение камня равноускоренное и в исходной системе отсчёта. Из треугольника скоростей ($\vec v(t)=\vec v_0+\vec at$) видим, что скорость минимальна в момент, когда относительная скорость уменьшилась в два раза, так как минимальная скорость перпендикулярна относительной скорости, а треугольник равнобедренный. Таким образом, скорость камня относительно мальчика минимальна через время $t/2$, где $t$ – время движения до остановки.

Для равноускоренного торможения до остановки верно, что за первую половину времени тело проходит $3/4$ пути, поэтому максимальное удаление камня от края льдины $y=4h/3$. Относительно льдины тело переместилось на $L=y/\sin30^\circ=2y=8h/3$ в направлении $v_\text{отн}$.

Время равноускоренного торможения до остановки можно найти из условия $\frac43h=\frac12v_0\cos30^\circ\cdot t$, получается $t=\frac{16}{3\sqrt3}\frac h{v_0}$.
Смещение камня по горизонтали составляет $S_x=v_0t-L_x=\frac4{3\sqrt3}h$. Смещение относительно мальчика