Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-5. 9 класс · Задание 5 · Лазер в сосуде

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка

Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Теоретический тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Внутри стеклянного тонкостенного цилиндрического сосуда радиуса $R$ вблизи его стенки в точке $A$ расположен микролазер, размеры которого гораздо меньше $R$ . Сосуд заполнен водой, а снаружи находится воздух. Половина внутренней поверхности сосуда, соответствующая дуге $ACB$ , зачернена и поглощает свет. Изначально луч лазера направлен в точку $B$ .

Лазер начинает вращаться с постоянной угловой скоростью $\omega$ против часовой стрелки в плоскости рисунка вокруг оси, проходящей через точку $A$ (рис. 9.4). Показатель преломления воды $n=4/3$ .

Через какое время $\tau$ луч перестанет выходить из сосуда?
Чему будет равна скорость «зайчика» на зачернённой поверхности цилиндра в момент времени $1{,}5\tau$ от начала его движения?

Примечание. Вам может потребоваться закон Снелла: $n_1\sin\varphi_1=n_2\sin\varphi_2$ , где $n_1$ и $n_2$ – показатели преломления света в первой и второй среде, $\varphi_1$ и $\varphi_2$ углы падения и преломления.

Лазер в точке A, вода и зачернённая дуга ACB, луч, R и ωt.

Решение

Возможное решение Т-9-5

1. Воспользуемся законом Снелла для преломления луча лазера:

n_1\sin\varphi_1=n_2\sin\varphi_2\qquad (9.10)

С учетом того, что коэффициент преломления воздуха равен 1, найдем условие полного внутреннего отражения:

\sin\alpha_\text{крит}=\frac1n\qquad (9.11)

\alpha_\text{крит}=\omega\tau=\arcsin\frac1n\approx49^\circ\qquad (9.12)

\tau=\frac1\omega\arcsin\frac1n\qquad (9.13)

2. Через время 1.5 $\tau$ угол будет:

\beta=1.5\omega\tau\approx73^\circ\qquad (9.14)

\gamma=180^\circ-2\beta\approx34^\circ\qquad (9.15)

Так как $\gamma<180^\circ$ , то лазерный луч несколько раз отразится, прежде чем попадет на зачерненную половину поверхности сосуда. Посчитаем количество отражений $n$ . Рассмотрим треугольники $\triangle AA_1O$ , $\triangle AA_2O$ , ..., $\triangle AA_nO$ . Углы $\angle A_{k-1}A_kO$ и $\angle A_kA_{k+1}O$ ( $k=1,\ldots,n$ ) равны из условия отражения. Отсюда следует, что рассматриваемые треугольники равны, так как они равнобедренные, и углы при основании равны. Условие на количество отражений будет иметь вид:

n\cdot\gamma<180^\circ<(n+1)\cdot\gamma\qquad (9.16)

n<5.3<n+1\qquad (9.17)

Следовательно количество отражений $n=5$ . Тогда зависимость угловой координаты зайчика от времени $\varphi(t)$ в окрестности $t=1.5\tau$ будет иметь вид:

\varphi(t)=(n+1)\gamma(t)=(n+1)(180^\circ-2\beta(t))=(n+1)(180^\circ-2\omega t)=1080^\circ-12\omega t.\qquad (9.18)

Отсюда видно, что зависимость координаты от времени линейная, поэтому находим модули угловой и линейной скоростей:

\omega_\text{з}=12\omega\qquad (9.19)

v_\text{з}=12\omega R\qquad (9.20)

Предельный угол полного внутреннего отражения αкрит и геометрия лазерного луча. — Рис. 9.16

Последовательные отражения A1–A6, равнобедренные треугольники и углы. — Рис. 9.17

Угловая координата φ точки попадания луча после отражений. — Рис. 9.18

Оригинал в Архива: finalT17.pdf