ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-4. 9 класс · Задание 4 · Два нелинейных элемента

Возможное решение Т-9-4

1. При крайних положениях движка реостата напряжение на одном из элементов $X$ равно нулю, а на втором 10 В. Из графика видно, что через второй элемент при этом течет ток $(200\pm2)$ мА, значит, суммарная мощность $W_1=(0+10\cdot0{,}2)$ Вт $=(2{,}00\pm0{,}02)$ Вт.

2. При центральном положении реостата получаем симметричную цепь, следовательно, напряжение на каждом из элементов $X$ будет 5 В. По графику ток равен $(60\pm3)$ мА, и суммарная мощность $W_2=(2\cdot5\cdot0{,}06)$ Вт $=(0{,}60\pm0{,}03)$ Вт.

3. Исходя из 1 и 2 пунктов, логично предположить, что минимальная мощность достигается при центральном положении движка реостата. Сдвинем движок реостата из центрального положения в левую сторону. Пусть при этом напряжение на левом элементе уменьшилось на $U'$ и стало $U_0/2-U'$, тогда на правом элементе напряжение стало равным $U_0/2+U'$. На левом элементе ток стал равен $I_0+\Delta I_\text{л}$, а на правом $I_0+\Delta I_\text{п}$, где $I_0$ - ток через элементы X при центральном положении движка реостата.

Выразим изменение мощности по сравнению с центральным положением движка реостата:

Заметим, что $\Delta I_\text{п}>0$, а $\Delta I_\text{л}<0$. Кроме того, так как график ВАХ по мере увеличения напряжения растет все быстрее, то $|\Delta I_\text{п}|>|\Delta I_\text{л}|$, поэтому $\Delta P>0$ при любых $U'$, значит, центральное положение движка реостата соответствует минимальной мощности. То есть $W_{min}=W_2$.

4. Нарисуем эквивалентную схему.
Сопротивление левого резистора $R_1=25$ Ом, а правого $R_2=75$ Ом. Пусть напряжение на левом резисторе равно $U$, токи через резисторы равны $I_1$ и $I_2$, а через элементы $X$ – $I_3$ и $I_4$. Тогда можем записать:

Откуда получим $I_4-I_3=U\left(1/R_1+1/R_2\right)-U_0/R_2=U\cdot0{,}053$ Ом⁻¹ $-133$ мА.

Из полученного выражения видно, что по мере роста $U$ от 0 до $U_0/2$ разность токов будет монотонно возрастать. Если же искать разность токов исходя из ВАХ, то по мере увеличения $U$ разность токов будет монотонно убывать.

Последовательными приближениями подберем значение $U$, удовлетворяющее нашему выражению и ВАХ. Получим $U=(3{,}5\pm0{,}2)$ В. Тогда из графика находим токи через элементы X, примерно равные соответственно $I_3=(35\pm4)$ мА и $I_4=(87\pm5)$ мА. Суммарная выделяющаяся мощность