Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-3. 9 класс · Задание 3 · Нелинейная спираль

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка

Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Теоретический тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Сопротивление $R$ спирали зависит от температуры по закону $R=R_0+\alpha(t-t_0)$ , где $t$ – температура спирали, $R_0=10$ Ом, $\alpha=40{,}0\cdot10^{-3}$ Ом/°C, $t_0=20^\circ$ C. На спираль подаётся напряжение $U=220$ В, и за время $\tau_1=100$ мкс она нагревается от $t_0$ до $t_1=80^\circ$ C.

До какой температуры $t_2$ нагреется спираль за время $\tau_2=334$ мкс от момента включения?
Определите теплоёмкость спирали.

При данных температурах и временах излучением и теплоотдачей можно пренебречь.

Решение

Возможное решение Т-9-3

По закону Джоуля–Ленца тепловая мощность, выделяющаяся на спирали, равна

N=\frac{U^2}R=\frac{U^2}{R_0+\alpha(t-t_0)}\qquad (9.2)

Поскольку излучение и теплоотдача не учитывается, то количество теплоты, выделившееся за малое время $\Delta\tau$ , идет на увеличение температуры спирали на $\Delta t$ градусов:

N\Delta\tau=C\Delta t\qquad (9.3)

Поэтому

\frac{U^2}C\Delta\tau=R(t)\Delta t\qquad (9.4)

С помощью графика зависимости $R(t)=R_0+\alpha(t-t_0)$ найдем время нагревания до $t_1$ , так как согласно (9.4) оно пропорционально площади под этим графиком:

\frac{U^2}C\tau_1=\frac{R_0+(R_0+\alpha(t_1-t_0))}{2}\cdot(t_1-t_0)\qquad (9.5)

Аналогично для нагревания до $t_2$ :

\frac{U^2}C\tau_2=\frac{R_0+(R_0+\alpha(t_2-t_0))}{2}\cdot(t_2-t_0)\qquad (9.6)

Из (9.5) получаем:

C=\frac{2U^2\tau_1}{2R_0(t_1-t_0)+\alpha(t_1-t_0)^2}=7{,}2\cdot10^{-3}\frac{\text{Дж}}{{}^\circ\text C}\qquad (9.7)

Исключая $C$ из (9.5) и (9.6), получаем квадратное уравнение:

\frac\alpha2(t_2-t_0)^2+R_0(t_2-t_0)-\frac{\tau_2}{\tau_1}\left(\frac\alpha2(t_1-t_0)^2+R_0(t_1-t_0)\right)=0\qquad (9.8)

Откуда

t_2=188^\circ\text C\qquad (9.9)

(отрицательный корень не имеет физического смысла)

Зависимость R(t), трапеция под графиком и обозначения t0, t1, R0, R(t1). — Рис. 9.15

Оригинал в Архива: finalT17.pdf