ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. 10 класс · Задание 2 · Раздельный вылет

Возможное решение Т-10-2

На изогнутом участке центры шариков движутся по окружности радиуса $R=h/2$. Точка $O$ на рисунке – её центр.

Скатывающая сила – проекция силы тяжести на касательную к траектории центра шарика – в нижней части скругления для переднего шарика больше, чем для заднего. Поэтому шарики не расходятся и давят друг на друга. В верхней части скругления скатывающая сила больше для заднего шарика, он отстаёт от переднего.

Критическое положение, где сила давления шарика на шарик уменьшается до 0, а их контакт исчезает, отвечает равенству скатывающих сил. Это случай, когда точка соприкосновения шариков находится на одной горизонтали с точкой $O$ (правая часть рис.).

Из сохранения энергии для скорости шариков $v$ в критическом положении получаем: $v^2=u^2-2gR=u^2-gh$, где $u$ начальная скорость.

Далее шарики движутся раздельно. Центр переднего шарика в критическом положении выше точки $O$ Передний окажется в верхнем колене, поднявшись на $h/2-r$ от его положения в критический момент. Из сохранения энергии для его скорости вылета имеем:

Условие, что передний шарик доберётся до верхнего колена и вылетит

Задний шарик не доберётся до верхнего колена и вылетит из нижнего, если его скорость обратится в 0 ещё на участке скругления. Граничный случай нулевая скорость заднего шарика в верхнем колене. Тогда из закона сохранения энергии получим:

Тогда диапазон $u$ задан неравенствами:

или

Здесь числа посчитаны для $g=10$ м/с².