Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-4. 10 класс · Задание 4 · Мостик с диодами и конденсаторами

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2017

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике · Заключительный этап · Теоретический тур

Обложка

Центральная предметно-методическая комиссия
Всероссийской олимпиады школьников по физике

LI Всероссийская олимпиада школьников по физике

Заключительный этап
Теоретический тур

Методическое пособие

Казань – 2017

Выходные данные

Комплект задач подготовлен
Центральной предметно-методической комиссией
Всероссийской олимпиады школьников по физике

Телефоны: (495) 408-80-77, 408-86-95
E-mail: physolymp@gmail.com
Сайт: physolymp.ru

Собрано в uTEX by И. А. Утешев.
При подготовке оригинал-макета использовалась издательская система LaTeX 2ε.

141700, Московская область, г. Долгопрудный
Московский физико-технический институт

Условие

Электрическая цепь (рис. 10.4) составлена из трёх одинаковых конденсаторов ёмкостью $C_1=C_2=C_3=C$ , двух одинаковых диодов, двух идеальных амперметров, ключа и регулируемого источника напряжения. Зависимость силы тока через диод от напряжения на нём представлена на рис. 10.5.

Пусть напряжение источника постоянно и равно $3U_0$ . Сколько теплоты выделится в цепи при замыкании ключа $K$ ?
Пусть напряжение источника зависит от времени $U=U(t)$ так, как показано на рис. 10.6. Ключ $K$ постоянно замкнут. Определите зависимости от времени $I_1(t)$ и $I_2(t)$ показаний амперметров $A_1$ и $A_2$ . Нарисуйте графики зависимости $I_1(t)$ и $I_2(t)$ с указанием значений характерных точек на графике. Полярность источника и полярность подключения амперметров указаны на рис. 10.4. Во всех случаях в начальный момент времени конденсаторы не заряжены.

Мостик с тремя конденсаторами, двумя диодами, амперметрами и источником.

Идеализированная вольтамперная характеристика диода с порогом U0.

Заданное треугольное напряжение U(t): 0, τ, 2τ, 3U0.

Решение

Возможное решение Т-10-4

При малых напряжениях источника $U$ диоды закрыты, конденсаторы соединены последовательно и напряжение на каждом из них $U/3$ . Напряжения на диодах при этом равны $2U/3$ . Если они достигают значения $U_0$ (т.е. при $U=3U_0/2$ ), диоды становятся открытыми, и конденсаторы уже нельзя считать соединенными последовательно.

Пусть $U_1,U_2$ и $U_3$ – напряжения на конденсаторах при полярности, указанной на 10.14 (источник не показан).

Тогда справедливы уравнения:

\begin{cases} U_1+U_2+U_3=U\\ U_1+U_2=U_0\\ U_2+U_3=U_0 \end{cases}

Откуда получаем:

\begin{cases} U_1=U_3=U-U_0\\ U_2=2U_0-U \end{cases}

Рассмотрим пункт 1) задачи. При $U=3U_0$ имеем:

\begin{cases} U_1=U_3=2U_0\\ U_2=-U_0 \end{cases}

(полярность ₂ противоположна указанной на рисунке). Через диоды прошли заряды

q_D=-q_2+q_3=CU_0+2CU_0=3CU_0,

при этом

q_1=CU_1=2CU_0.

Значит, через источник прошел заряд

q_\text{ист}=q_1+q_D=5CU_0,

работа источника

A_\text{ист}=q_\text{ист}U=15CU_0^2.

Энергия $W_C$ конденсаторов при этом

W_C=2\frac{C(2U_0)^2}2+\frac{CU_0^2}2=4{,}5CU_0^2.

Тогда количество выделившегося тепла

Q=A_\text{ист}-W_C=10{,}5CU_0^2.

Перейдем к пункту 2). До момента времени $t=\tau/2$ , пока $U\le3U_0/2$ , напряжение на диодах меньше $U_0$ , а напряжения на конденсаторах равны $U/3$ . При этом токи через амперметры

I_1=I_2=\frac{\Delta q_1}{\Delta t_1}=C\frac{\Delta U_1}{\Delta t}=\frac{CU_0}\tau

При $t=\tau/2$ через диоды начинает течь ток, а напряжения на конденсаторах

\begin{cases} U_1=U_3=U-U_0\\ U_2=2U_0-U \end{cases}

При этом токи через амперметры

I_2=\frac{\Delta q_2}{\Delta t}=C\frac{\Delta(2U_0-U)}{\Delta t}=-CC\frac{\Delta U}{\Delta t}=-\frac{3CU_0}\tau,

I_1=\frac{\Delta q_2}{\Delta t}+\frac{\Delta q_D}{\Delta t}=\frac{\Delta q_3}{\Delta t}-\frac{\Delta q_2}{\Delta t}=2C\frac{\Delta U}{\Delta t}+C\frac{\Delta U}{\Delta t}=\frac{9CU_0}\tau.

При уменьшении напряжения в интервале времени от $\tau$ до $2\tau$ ток через диоды не течет, напряжение на конденсаторах изменяется на одну и ту же величину

\Delta U_1=\Delta U_2=\Delta U_3=-\frac{\Delta U}3.

При этом, с учетом знака напряжения $U_2$ , модуль $U_2$ возрастает. Ток тогда

I_1=I_2=\frac{\Delta q_1}{\Delta t}=C\frac{\Delta U_1}{\Delta t}=\frac{C\Delta U}{3\Delta t}=-\frac{CU_0}\tau.

Графики зависимостей $I_1(t)$ , $I_2(t)$ выглядят так:

Полярности и заряды конденсаторов в открытом диодном мостике. — Рис. 10.14

Полный график I1(t), все уровни тока и моменты τ/2, τ, 2τ. — Рис. 10.15

Полный график I2(t), все уровни тока и моменты τ/2, τ, 2τ. — Рис. 10.16

Оригинал в Архива: finalT17.pdf