ВсОШ 2017, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. 9 класс · Задание 1 · Тише едешь…

Возможное решение Т-9-1

При движении со скоростью $v$ расстояние $L$ катер преодолевает за время $\tau=L/v$. При этом мощность сил сопротивления равна $N=Fv=kv^2$, где $k$ – размерный коэффициент. Так как по условию массовый расход топлива линейно зависит от мощности сил сопротивления $\mu=\mu_0+\alpha N$, где $\mu_0$ и $\alpha$ – размерные коэффициенты, то линейный расход топлива равен $\lambda=\mu\tau/L=\alpha v+\mu_0/v$.

Найдем константы $\alpha$ и $\mu_0$ по известным значениям $v_1$, $\lambda_1$, $v_2$ и $\lambda_2$. Для этого запишем уравнения для линейного расхода $\lambda_1=\alpha v_1+\mu_0/v_1$ и $\lambda_2=\alpha v_2+\mu_0/v_2$. Решая систему, получим: $\alpha=(\lambda_1v_1-\lambda_2v_2)/(v_1^2-v_2^2)=2{,}5$ г · ч/км² и $\mu_0=v_1v_2(v_1\lambda_2-v_2\lambda_1)/(v_1^2-v_2^2)=37{,}5$ г/ч. С учетом найденных размерных коэффициентов уравнение для линейного расхода приобретает вид: $\lambda=2{,}5v+37{,}5/v$. График этой зависимости представлен на рисунке 9.10.

В режиме холостого хода двигатель неподвижной модели сможет проработать $\tau_x=M/\mu_0=160$ мин. Умножив полученное выражение для $\lambda$ на $v$, получим квадратное уравнение (с размерными коэффициентами, полученными ранее)

дискриминант которого обращается в ноль при $\lambda_0=19{,}4$ г/км, что соответствует $v_0=3{,}87$ км/ч.

Максимальное расстояние, на которое может уплыть модель, двигаясь с оптимальной скоростью, $L_0=M/\lambda_0=5{,}2$ км, и на его преодоление требуется время $\tau_0=L_0/v_0=80$ мин. Зависимость предельной дальности движения от скорости приведена на рисунке 9.11.

Так как требуемое расстояние $L_1=3$ км меньше предельной дальности $L_0$, то модель не обязана придерживаться оптимальной стратегии и может плыть быстрее или медленнее. Из ранее полученного квадратного уравнения $2{,}5v^2-\lambda v+37{,}5=0$ с учетом $\lambda=M/L_1=100/3$ г/км. Выбирая при решении больший корень, находим максимально допустимую скорость $v_{11}=12{,}1$ км/ч, при которой еще хватает топлива на заданной дистанции $L_1$, и получаем соответствующее ей минимально возможное время движения 15 мин. Большему корню $v_{12}=1{,}24$ км/ч соответствует максимально возможное время движения 145 мин. Окончательно получаем $\tau_1\in[15\text{ мин};145\text{ мин}]$.