Съдържание

ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9.2. Масса поршня

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2018

LII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. 17 января 2018 г. (7–8 класс: Олимпиада школьников по физике имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап.) · 17 януари 2018 г. · 10 т.

Условие

Цилиндрический сосуд с поршнем соединен коническим переходником с трубкой постоянного сечения. Разность уровней воды в правом и левом колене $h = 20$ см. В трубку медленно наливают воду, измеряя объём $V$ добавленной воды и подъём уровня $y$ в правом колене. С помощью графика зависимости $V$ от $y$ найдите массу поршня и объём конической части сосуда. Трение между поршнем и цилиндром не учитывайте. Плотность воды $\rho = 1{,}0\ \mathrm{г/см^3}$ , $g = 10\ \mathrm{м/с^2}$ .

Схема: слева цилиндрический сосуд с поршнем (заштрихованная полоска), книзу переходящий в коническую часть, соединенную U-образной трубкой с вертикальной трубкой справа; разность уровней воды h и подъём уровня y в правой трубке показаны стрелками.

График зависимости V (см³, от 0 до 300) от y (см, от 0 до 20) на клетчатой сетке: сначала почти прямая с малым наклоном, затем кривая, круто поднимающаяся и переходящая в крутую прямую до V ≈ 280 см³ при y ≈ 17 см.

Отговори

Решение

Возможное решение

Условие равновесия поршня: $pS = Mg + p_oS$ .

Давление воздуха в сосуде $p = p_o + \rho gh$ (равновесие столба воды).

Отсюда $M = \rho hS$ .

Однако ни сечение поршня, ни сечение трубки не даны.

Обратимся к связи объёма налитой воды и подъёма уровня.

Поскольку давление воздуха в сосуде постоянно, то остаётся постоянной разность уровней воды справа и слева, а именно она равна $h$ , и поэтому оба эти уровня поднимаются на $y$ .

Пока вода не попала в сосуд $V = 2sy$ , где s сечение трубки.

Этому отвечает начальная линейная часть графика, по её наклону находится сечение трубки $s = (1/2)(\Delta V/\Delta y)_{\text{нач}} = 2{,}5$ см $^2$ .

Искривлённая часть графика отвечает заполнению конической части сосуда. Когда вода дойдёт до цилиндрической части, то приращение объёма будет $\Delta V = S\Delta y + s\Delta y$ . Это отвечает конечной линейной части графика, из её наклона находим $S + s = (\Delta V/\Delta y)_{\text{кон}} = 35$ см $^2$ , а $S = 32{,}5$ см $^2$ .

Тогда $M = \rho hS = 650$ г.

Объём конической части сосуда $V_x = \Delta V - s\Delta y$ , где $\Delta V = 120$ см $^3$ и $\Delta y = 9$ см для искривлённого участка графика, тогда $V_x = 98$ см $^3$ .

Критерии оценивания

№	Критерий	Баллы
1.	Условие равновесия поршня ( $pS = Mg + p_oS$ )	1 балл
2.	Давление воздуха в сосуде ( $p = p_o + \rho gh$ )	1 балл
3.	Выражение для массы поршня ( $M = \rho hS$ )	1 балл
4.	Постоянство разности уровней и равенство их изменений (0,5 + 0,5)	1 балл
5.	Связь объёма и $y$ для начального участка ( $V = 2sy$ )	0,5 балла
6.	Анализ начального участка графика и нахождение сечения трубки ( $s=(1/2)(\Delta V/\Delta y)_{\text{нач}} = 2$ см $^2$ )	1 балл
7.	Связь объёма и $y$ для конечного участка ( $\Delta V = S\Delta y + s\Delta y$ )	0,5 балла
8.	Анализ конечного участка графика и нахождение сечения поршня ( $S + s = (\Delta V/\Delta y)_{\text{кон}} = 27{,}2$ см $^2$ , а $S = 25{,}2$ см $^2$ )	1 балл
9.	Нахождение массы поршня ( $M = \rho hS = 504$ г)	1 балл
10.	Нахождение объёма конической части ( $V_x = \Delta V - s\Delta y = 50$ см $^3$ )	2 балла

Онлайн-разбор

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region18T.pdf