ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9.3. Жидкое равновесие

• m/3 < mx < 3m

Возможное решение

Сила давления на дно сосуда $F$ распределена равномерно по всей площади и не зависит от места погружения в жидкость тела $2m$. При этом, $F = mg + F_{\mathrm{a}}$, где $F_{\mathrm{a}}$ − сила, противодействующая силе Архимеда, действующей на тело $2m$.

Из условия равновесия тела $2m$: $T + F_{\mathrm{a}} = 2mg$, где $T$ − сила натяжения нити.

Из условия равновесия груза $m_{\text{x}}$: $T + N = m_{\text{x}}g$, где $N$ − сила реакции опоры.

Правило моментов для рычага относительно точки опоры имеет вид: $4mgl = Fl + N3l$.

Неизвестных больше чем уравнений и без введения дополнительных условий систему решить невозможно.

Предположим, что груз $m_{\text{x}}$ − очень легкий, тогда рычаг начнет перевешивать, его правая часть пойдет вверх и нить провиснет ($T = 0$). Решая систему уравнений, получим нижнюю границу значений масс $m_{\text{x}} = m/3$.

В случае если $m_{\text{x}}$ велико, правая часть рычага начинает движение вниз, тело $2m$ перестает действовать на воду. Сила Архимеда обращается в ноль. Тогда решение системы дает $m_{\text{x}} = 3m$.

Следовательно, система в равновесии, если масса тела $m_{\text{x}}$ лежит в диапазоне $m/3 \lt m_{\text{x}} \lt 3m$.

Критерии оценивания