Съдържание

ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 9.4. Электротермодинамика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2018

LII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. 17 января 2018 г. (7–8 класс: Олимпиада школьников по физике имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап.) · 17 януари 2018 г. · 10 т.

Условие

Два цилиндрических проводника разной длины, но одинакового диаметра, изготовлены из меди. Их сопротивления и температуры (в градусах Цельсия) соответственно равны: $R_1, R_2, t_1, t_2$ . Проводники соединяют плоскими гранями. Каким окажется сопротивление составного проводника после того, как температуры его частей выровняются? Теплообменом с окружающей средой и тепловым расширением меди пренебречь.

Два соединенных торцами прямоугольника (проводника): левый короче, подписан t₁ сверху и R₁ снизу; правый длиннее, подписан t₂ сверху и R₂ снизу.

Примечание: сопротивление проводника при температуре $t$ равно: $R = R_0\left(1 + \beta\left(t - t_0\right)\right)$ , где $R_0$ – сопротивление проводника при $t_0 = 0\ {}^{0}\mathrm{C}$ ; $\beta$ – температурный коэффициент сопротивления, причём $\beta t \ll 1$ .

Отговори

Решение

Возможное решение. Сопротивление $R_{\mathrm{i}}$ цилиндров пропорционально их длине, как и их теплоемкость $C_{\mathrm{i}}$ . Следовательно,

\dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{l_1}{l_2} = \dfrac{R_{0,1}}{R_{0,2}}. \qquad (1)

Запишем уравнение теплового баланса: $C_1t_1 + C_2t_2 = \left(C_1 + C_2\right)t$ .

Из него, с учётом (1) получим: $t = \dfrac{C_1t_1 + C_2t_2}{C_1 + C_2} = \dfrac{R_{0,1}t_1 + R_{0,2}t_2}{R_{0,1} + R_{0,2}}$ .

Изменение температуры первого цилиндра

$\Delta t_1 = t - t_1 = \dfrac{R_{0,2}\left(t_2 - t_1\right)}{R_{0,1} + R_{0,2}}$ ; $\Delta t_2 = t - t_2 = \dfrac{R_{0,1}\left(t_1 - t_2\right)}{R_{0,1} + R_{0,2}}$ .

Изменение сопротивления первого цилиндра

\Delta R_1 = R_{0,1}\beta\Delta t_1 = \beta\left(t_2 - t_1\right)\dfrac{R_{0,1}R_{0,2}}{R_{0,1} + R_{0,2}}.

Изменение сопротивления второго цилиндра

\Delta R_2 = R_{0,2}\beta\Delta t_2 = \beta\left(t_1 - t_2\right)\dfrac{R_{0,1}R_{0,2}}{R_{0,1} + R_{0,2}}.

Изменение сопротивления составного цилиндра $\Delta R = \Delta R_1 + \Delta R_2 = 0$ .

Следовательно, сопротивление составного цилиндра при нагреве не изменится и будет равно $R = R_1 + R_2$ .

Примечание: Строго говоря, если $R = R_0\left(1 + \beta\left(t - t_0\right)\right)$ , то требование $\beta t \ll 1$ избыточно.

Критерии оценивания

№	Критерий	Баллы
1.	Отмечено соотношение (1)	2 балла
2.	Найдена установившаяся температура	2 балла
3.	Найдены $\Delta t_1$ и $\Delta t_2$	2 балла
4.	Найдены $\Delta R_1$ и $\Delta R_2$	2 балла
5.	Показано, что $\Delta R = 0$ , т.е. $R = R_1 + R_2$ .	2 балла

Онлайн-разбор

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region18T.pdf