ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10.1. Просто трение

• брусок: υ; фанера: √3υ/2

Возможное решение

Рассмотрим векторы начальных скоростей бруска и фанеры и их изменения за некоторый малый промежуток времени $\Delta t$. На рисунке вектор $OA$ соответствует скорости бруска, вектор $OB$ скорости фанеры в начальный момент времени. Векторы изменений их скоростей равны по модулю (так как массы равны) и направлены вдоль вектора их относительной скорости $AB$ (скорость бруска относительно фанеры – вектор $AB$, а сила трения, действующая на брусок направлена от $A$ к $B$ и наоборот для листа фанеры).

Через время $\Delta t$ концы векторов новых скоростей $OA_1$ и $OB_1$, по-прежнему лежат на $AB$ и силы трения, действующие на тела, по-прежнему направлены вдоль $AB$. Скорости бруска и фанеры будут изменяться до тех пор, пока не выровняются по величине и направлению, а точки $A_1$ и $B_1$ не окажутся на середине $AB$. Дальнейшее очевидно из геометрии. Скорость бруска уменьшается, пока не достигнет постоянного значения $OM$, $OM = AB/2 = \upsilon$. Минимальная скорость листа фанеры достигается прежде, чем скорости установятся – длина вектора $OB_2$ равна $OB_2 = OA\sin 30^{\circ} = \sqrt{3}\upsilon/2$.

Таким образом, минимальная скорость бруска относительно льда при движении равна $\upsilon$, а фанеры, соответственно $\sqrt{3}\upsilon/2$.

Критерии оценивания

Примечание. За математические ошибки при верной физической модели, позволяющей получить корректный результат, но допущенной математической ошибке снимается 1 балл.