ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10.2. Расталкивание

• LПрав = 2υ²/(15μg), LЛев = υ²/(30μg)

Возможное решение

1. После первого столкновения скорость правого бруска $u_1 = 2m\upsilon/(M+m) = \upsilon/2$, скорость тележки $\upsilon_1 = \upsilon(m - M)/(M+m) = -\upsilon/2$ (из законов сохранения энергии и импульса). Знак минус означает, что тележка начнёт двигаться влево.

2. Из законов сохранения энергии и импульса при столкновении с левым бруском получим, что тележка будет двигаться вправо со скоростью $\upsilon/4$. А скорость правого бруска после второго столкновения с тележкой станет $\upsilon_2 = \upsilon/8 = \upsilon_1/4$. Соответственно $\upsilon_3 = \upsilon_2/4$ и т.д.

3. А) Кинетические энергии правого бруска будут изменяться также в геометрической прогрессии. но с показателем 1/16. Отсюда можно найти полное перемещение правого бруска, а затем и левого.

Б) Можно заметить, что после каждого столкновения отношение кинетических энергий правого и левого брусков остаётся одинаковым и равным 4, тогда $L_{\text{Лев}} = L_{\text{Прав}}/4$. С учётом работы силы трения имеем $m\upsilon^2/2 = \mu Mg\left(L_{\text{Лев}} + L_{\text{Прав}}\right)$, а так как $m = M/3$, то $L_{\text{Прав}} = 2\upsilon^2/(15\mu g)$ и и $L_{\text{Лев}} = \upsilon^2/(30\mu g)$.

Критерии оценивания

Баллы за 3А и 3Б не суммируются, это разные варианты решений!