Съдържание

ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10.3. Из глубин...

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2018

LII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. 17 января 2018 г. (7–8 класс: Олимпиада школьников по физике имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап.) · 17 януари 2018 г. · 10 т.

Условие

Со дна глубокого озера всплывает пузырёк воздуха. На него действует сила сопротивления $F = kr\upsilon$ , где $r$ – радиус пузырька, $\upsilon$ – его скорость, $k$ - постоянная. Вблизи дна радиус пузырька $r_0 = 1{,}0$ мм. На рис. 1 представлен график зависимости глубины $h$ на которой находится пузырёк, от времени $t$ , прошедшего от начала его движения.

1) Какова глубина озера?

График зависимости h (усл. ед., от 0 до 1,0) от t (с, от 0 до 5) на клетчатой сетке: кривая начинается в h = 1,0 при t = 0 и спадает, становясь круче, до h = 0 примерно при t ≈ 4,55 с.

2) За какое время $\tau_1$ всплывёт пузырёк, радиус которого у дна водоёма равен $r_1 = 0{,}5$ мм?

3) За какое время $\tau_2$ пузырёк, радиус которого у дна водоёма равен $r_0 = 1{,}0$ мм, всплывёт со дна водоёма глубиной $H = 10$ м?

Примечание 1. Давление водяных паров в пузырьке, поверхностное натяжение воды, изменение формы пузырька и изменение температуры воздуха в пузырьке не учитывайте.

Примечание 2. Плотность воды $\rho = 1{,}0\cdot 10^3\ \mathrm{кг/м^3}$ , атмосферное давление $p_0 = 1{,}0\cdot 10^5\ \mathrm{Па}$ , $g = 10\ \mathrm{м/с^2}$ , объем пузырька $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ .

Отговори

Решение

Возможное решение

Массу пузырька воздуха можно не учитывать, поэтому сила $F$ сопротивления движению равна силе Архимеда $F_{\mathrm{A}}$ : $F = F_A$ , или иначе: $kr\upsilon = \dfrac{4}{3}\pi r^3\rho g$ .

Отсюда найдём $\upsilon = \dfrac{4\pi}{3}\dfrac{r^2\rho g}{k}$ .

В соответствии с законом Бойля-Мариотта ( $pV$ = const) запишем:

\dfrac{4\pi}{3}r_0^3\left(p_0 + \rho gh_0\right) = \dfrac{4\pi}{3}r^3\left(p_0 + \rho gh\right).

Зависимость радиуса пузырька от глубины такова:

r = r_0\left(\dfrac{p_0 + \rho gh_0}{p_0 + \rho gh}\right)^{1/3}.

Откуда

\upsilon = \dfrac{4\pi\rho gr_0^2}{3k}\left(\dfrac{p_0 + \rho gh_0}{p_0 + \rho gh}\right)^{2/3}.

Скорости пузырька вблизи дна $\upsilon\left(h_0\right)$ и у поверхности $\upsilon\left(0\right)$ относятся как

\dfrac{\upsilon\left(0\right)}{\upsilon\left(h_0\right)} = \left(\dfrac{p_0 + \rho gh_0}{p_0}\right)^{2/3}.

Отношение скоростей можно определить через отношение угловых коэффициентов касательных, проведенных к графику зависимости $h(t)$ в соответствующих точках. Для нашего графика (данного в условии)

Тот же график h(t) (h в усл. ед. от 0 до 1,0; t в с от 0 до 5) с двумя проведенными касательными: пологой в начальной точке (t = 0, h = 1,0) и крутой в точке у поверхности (h = 0, t ≈ 4,55 с).

\dfrac{\upsilon(0)}{\upsilon(h_0)} \approx 1{,}8;

\dfrac{p_0 + \rho gh_0}{p_0} \approx 2{,}4;

h_0 \approx 14\ \mathrm{м}.

Для ответа на второй вопрос задачи достаточно заметить, что на любой глубине скорость пузырька, пропорциональна квадрату его начального радиуса. Соответственно, для пузырька с начальным радиусом 0,5 мм скорость будет в четыре раза меньше, чем для пузырька радиусом $r_0$ = 1 мм, а время движения будет в четыре раза больше, то есть примерно 18 с.

При ответе на третий вопрос задачи найдем радиус пузырька, имевшего $r_0$ = 1 мм на глубине 14 м, когда он достигнет глубины 10 м.

r_0' = r_0\left(\dfrac{p_0 + \rho gh_0}{p_0 + \rho gh}\right)^{1/3} = r_0\left(\dfrac{24}{20}\right)^{1/3}

Такой же пузырек в соответствие с графиком движется от глубины 10 м до поверхности $t'$ = 2,9 с. Пузырек, имеющий на этой глубине радиус $r_0$ = 1 мм будет двигаться в $\left(\dfrac{r_0'}{r_0}\right)^2$ раз медленнее, то есть достигнет поверхности за время

t = t'\left(\dfrac{r_0'}{r_0}\right)^2 \approx 3{,}3\ \mathrm{с}.

Критерии оценивания

№	Критерий	Баллы
1.	Указано, что из-за малости массы воздуха в пузырьке, можно приравнивать силу сопротивления движению силе Архимеда	1 балл
2.	Получено выражение для связи скорости пузырька с его размером	1 балл
3.	С использованием закона Бойля-Мариотта получено уравнение для связи радиуса пузырька на глубине $h$ с начальным размером пузырька и глубиной	1 балл
4.	Получено выражение для зависимости скорости пузырька от начального размера и глубины	1 балл
5.	Обоснованно получен ответ для глубины озера, в пределах 15-25 метров	2 балла
6.	Обоснованно получен ответ для времени всплытия пузырька с радиусом 0,5 мм	1 балл
7.	Идея ответа на третий вопрос задачи через сравнение времен всплытия пузырьков разных радиусов с одной глубины и верный пересчет размера пузырька для глубины 10 м именно для этой цели (1 балл +1 балл)	2балла
8.	Получен обоснованный ответ на третий вопрос задачи в пределах 1,5 - 3,5 секунд	1 балл

Онлайн-разбор

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region18T.pdf