Съдържание

ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 10.4. Частичный нагрев

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2018

LII Всероссийская олимпиада школьников по физике. Региональный этап. 17 января 2018 г. (7–8 класс: Олимпиада школьников по физике имени Дж. Кл. Максвелла. Региональный этап.) · 17 януари 2018 г. · 10 т.

Условие

Два одинаковых вертикальных цилиндра соединены сверху и снизу трубками пренебрежимо малого объёма. В верхней трубке имеется кран $K$ , который исходно открыт. В цилиндры налита жидкость плотности $\rho$ . Оставшийся объём цилиндров высоты $L$ заполнен газом с давлением $p_{\mathrm{o}}$ и комнатной температурой $T_{\mathrm{o}}$ . При неизменной температуре газа в левом цилиндре газ в правом нагрели до температуры $T$ и закрыли вентиль. Нагреватель отключили. Когда воздух в правом цилиндре остыл до комнатной температуры, разность уровней жидкости в цилиндрах стала $2h$ . Найдите температуру $T$ , если в левом цилиндре температура газа всё время оставалась комнатной. Ускорение свободного падения $g$ .

Два одинаковых вертикальных цилиндра, соединенных сверху трубкой с краном K и снизу общим объемом с жидкостью; над жидкостью в каждом цилиндре газ p₀, T₀, высота газового столба L отмечена стрелками слева и справа.

Отговори

Решение

Возможное решение

Пусть $S$ сечение цилиндров, $\nu$ полное число молей газа, $R$ газовая постоянная. Из уравнения состояния идеального газа для начальной ситуации имеем: $2p_{\mathrm{o}}SL = \nu RT_{\mathrm{o}}$ .
При открытом вентиле давление газа слева и справа одинаково, обозначим его $p$ .
Из уравнения состояния в применении к каждому цилиндру при открытом вентиле и разных температурах имеем: $pSL = \nu_1RT_{\mathrm{o}}$ ; $pSL = \nu_2RT$ , где $\nu_1$ и $\nu_2$ число молей слева и справа.
Так как суммарное число молей неизменно, то $\nu = \nu_1 + \nu_2$ .
Отсюда выражаем давление $p = 2p_{\mathrm{o}}T/(T + T_{\mathrm{o}})$ .
После закрытия вентиля число молей газа слева и справа остаются прежними. В конце температура везде $T_{\mathrm{o}}$ , а объёмы газа слева и справа соответственно $(L + h)S$ и $(L - h)S$ .
Разница давлений газа при перепаде уровней $p_1 - p_2 = 2\rho gh$ .
Выразим давления через уравнение состояния и предыдущие соотношения: $\nu_1RT_{\mathrm{o}}/(L + h)S - \nu_2RT_{\mathrm{o}}/(L - h)S = pL/(L + h) - pLT_{\mathrm{o}}/T(L - h) = 2\rho gh$ .
Подставив $p = 2p_{\mathrm{o}}T/(T + T_{\mathrm{o}})$ получим уравнение для искомой $T$ : $p_{\mathrm{o}}LT/(T + T_{\mathrm{o}})(L + h) - p_{\mathrm{o}}LT_{\mathrm{o}}/(T + T_{\mathrm{o}})(L - h) = \rho gh$ .
Откуда $T = T_{\mathrm{o}}(L + h)(p_{\mathrm{o}}L + \rho gh(L - h))/(L - h)(p_{\mathrm{o}}L - \rho gh(L + h))$ .

Критерии оценивания

№	Критерий	Баллы
1.	Уравнение состояния для начальной ситуации ( $2p_{\mathrm{o}}SL = \nu RT_{\mathrm{o}}$ )	1 балл
2.	Равенство давлений при открытом вентиле	0,5 балла
3.	Уравнение состояния в случае разных температур ( $pSL = \nu_1RT_{\mathrm{o}}$ ; $pSL = \nu_2RT$ )	1 балл
4.	Неизменность суммарного числа молей ( $\nu = \nu_1 + \nu_2$ )	0,5 балла
5.	Нахождение давления $p$ ( $p = 2p_{\mathrm{o}}T/(T + T_{\mathrm{o}})$ )	1 балл
6.	Ситуация после закрытия вентиля и остывания	1 балл
7.	Перепад давлений ( $p_1 - p_2 = 2\rho gh$ )	1 балл
8.	Уравнения для искомого $T$	2 балла
9.	Нахождение искомого $T$ (См. ответ в тексте)	2 балла

Онлайн-разбор

18 января, на портале http://abitu.net/vseros будет проведён онлайн-разбор решений задач теоретического тура. Начало разбора (по московскому времени): 7 класс – 11.00; 8 класс – 12.00; 9 класс – 13.00; 10 класс – 14.30; 11 класс – 16.00.

Для участия в разборе необходимо зарегистрироваться на портале http://abitu.net/vseros

Оригинал в Архива: region18T.pdf