ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11.3. Дифференциальный термометр

• Шкала линейна; цена деления ΔТдел ≈ 1,2 К (деления от −4 до +4 К)

Возможное решение

Для начального состояния газов в сосудах можно записать уравнение Менделеева-Клапейрона: $\dfrac{p_0(V + LS/2)}{T_0} = \nu R$, здесь $p_0$ – давление газа вначале, а $V_0 = V + LS/2$.

Если температура в левом сосуде повысится на $\Delta T_1$, а в правом понизится на $\Delta T_2$ и поршень сместится влево на $\Delta L$, то новые уравнения состояния примут вид: $\dfrac{p(V_0 + \Delta LS)}{T_0 + \Delta T_1} = \nu R$ и $\dfrac{p(V_0 - \Delta LS)}{T_0 - \Delta T_2} = \nu R$. Приравнивая левые части с учетом $\Delta LS \ll V$, получим: $\Delta L = \dfrac{V_0(\Delta T_1 + \Delta T_2)}{2ST_0}$, откуда, учитывая, что $\Delta T = \Delta T_1 + \Delta T_2$, окончательно $\Delta L = \dfrac{V_0\Delta T}{2ST_0}$. Из выведенного уравнения следует, что при малых изменениях температур сосудов малые смещения поршня связаны линейно с разностью температур $\Delta T$.

Заметим, что 4-м делениям шкалы термометра соответствует 9 см. Следовательно, цена деления шкалы $\Delta T^{дел} = \dfrac{2ST_0\Delta L_1}{V + LS/2}$ ≈1,2 К.

Таким образом, шкала термометра, показывающего разность температур $T_1$–$T_2$ должна выглядеть так:

Критерии оценивания