ВсОШ 2018, Регионален етап, 7–11 клас — Задача 11.4. И так можно измерять

• Q1 = Q2(L2/L1)((R² + L1² − 2RL1cosβ)/(R² + L2² + 2RL2cosβ))³/2}; при L1 = 2L2, R = 3L2: Qmin = Q2/128, Qmax = 125Q2/16

Возможное решение

Условие равновесия заряда на конце нити: равенство нулю суммы кулоновских сил со стороны $Q_1$ и $Q_2$ и натяжения нити, направленного к точке $O$.

Исключим натяжение, рассмотрев составляющие кулоновских сил, поперечные нити. Из условия равновесия следует

где $R_1$ и $R_2$ расстояния от конца нити до зарядов, а $\alpha_1$ и $\alpha_2$ углы, образуемые кулоновскими силами с нитью.

Поскольку $R_1\sin\alpha_1 = L_1\sin\beta,\ R_2\sin\alpha_2 = L_2\sin\beta$ (2)

и $\dfrac{Q_1L_1}{R_1^3} = \dfrac{Q_2L_2}{R_2^3}$, то $Q_1 = Q_2\left(\dfrac{L_2}{L_1}\right)\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3$ (3)

Из теоремы косинусов находим $R_1^2 = R^2 + L_1^2 + 2RL_1\cos\beta,\ R_2^2 + L_2^2 + 2RL_2\cos\beta$, (4)

Откуда находим $Q_1 = Q_2\left(\dfrac{L_2}{L_1}\right)\left(\dfrac{R^2 + L_1^2 - 2RL_1\cos\beta}{R^2 + L_2^2 + 2RL_2\cos\beta}\right)^{3/2}$ (5)

При нити, отклонённой от прямой, соединяющей заряды $Q_1$ и $Q_2$, равновесие устойчиво так как с изменением $\beta$ возникнет возвращающая сила. При $\beta = 0$ и 180$^{\mathrm{o}}$ равновесие будет при любом $Q_1$, но оно не обязательно устойчиво.

Минимальный измеримый заряд $Q_{\min}$ достигается при стремлении $\beta$ к 0, а максимальный $Q_{\max}$ – к 180$^{\mathrm{o}}$. (6)

При указанных в условии значениях $L_1 = 2L_2,\ R = 3L_2$ получим, что при

Более компактная запись решения получается, если задачу решать в векторном виде.

Критерии оценивания