ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-1. 10 класс · 10.1 · Шайбы и стенка

10.1. (Воробьев И.)

1. Общее рассмотрение

Сначала столкнутся шайбы. После их столкновения большая шайба станет удаляться от стенки, меньшая полетит к стенке и отскочит от неё. Так как зазор со стенкой мал, то столкновение с ней произойдёт сразу после первого и расположение шайб можно считать не изменившимся. Если скорость меньшей шайбы после отскока окажется такова, что она догонит большую, то произойдёт ещё одно столкновение шайб. Чтобы понять, возможны ли дальнейшие столкновения, найдём скорости после упомянутых выше столкновений.

2. Первый контакт шайб

а) Через точку контакта шайб при ударе проведём касательную и нормаль через центры шайб. Нормаль образует угол $\alpha$ со стенкой и с направлением скорости $v$. Находим, что $\sin\alpha=(R-r)/(R+r)=3/4$.

б) Проекция скорости $v$ на нормаль $v_n=v\cos\alpha$, а на касательную $v_{\tau}=v\sin\alpha$.

3. Скорости после первого столкновения

а) Пусть скорости шайб после 1-го удара $v_1$ и $u_1$. Так как трения нет, то силы при столкновении направлены по нормали, и проекции на касательную у шайб не изменятся $u_{1\tau}=0$; $v_{1\tau}=v_{\tau}$.

б) Применяя законы сохранения энергии и импульса для упругого столкновения тел равной массы, получим нормальные составляющие скоростей шайб после удара $u_{1n}=v_n$; $v_{1n}=0$.

4. Отражение от стенки

а) Скорость меньшей шайбы после первого столкновения равна $v_{\tau}$ и образует угол $\alpha$ с перпендикуляром к стенке, после упругого отражения от стенки она сохранит свою величину и будет направлена под углом $2\alpha$ к касательной (угол падения равен углу отражения)

б) При $v_{\tau}\sin2\alpha>u_{1n}$ меньшая шайба догонит большую. Это произойдёт при: $\sin\alpha\cdot\sin2\alpha>\cos\alpha$. И $\sin^2\alpha>1/2$, что при данных $r$ и $R$ заведомо выполнено.

5. Второе столкновение шайб

а) По аналогии с пунктом 3, нормальные составляющие скоростей шайб после второго столкновения $v_{2n}=u_{1n}=v_n$; $u_{2n}=v'_n=v_{\tau}\sin2\alpha$, а касательные составляющие не изменились. Теперь $u_{2n}>v_{2n}$.

б) После второго удара шайбы удаляются от стенки и друг от друга, столкновений больше не будет.

в) После всех столкновений скорость большой шайбы $u=u_{2n}=v_{\tau}\sin2\alpha=2v\sin^2\alpha\cos\alpha=(9\sqrt7/32)v\approx0,74v$.