Съдържание

Условие Решение

ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. 10 класс · 10.2 · Автомобиль на конвейере

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от ВсОШ 2018

LII Всероссийская олимпиада по физике · Теоретический тур

Заголовок оригинала

LII Всероссийская олимпиада по физике. Теоретический тур

9 КЛАСС

Следующий вариант

10 КЛАСС

Следующий вариант

11 КЛАСС

Условие

Автомобиль движется по горизонтальному неподвижному конвейеру со скоростью $v_0=20$ м/с в безветренную погоду. При этом половина мощности двигателя затрачивается на преодоление сопротивления воздуха, другая половина — на преодоление трения качения.

1. Навстречу автомобилю подул ветер со скоростью $v_0=20$ м/с (относительно земли). С какой установившейся скоростью $v_1$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась, а конвейер неподвижен?

2. В некоторый момент ветер утих, а конвейер стал двигаться с постоянной скоростью $v_0=20$ м/с в сторону, противоположную движению автомобиля. С какой установившейся скоростью $v_2$ относительно земли будет двигаться автомобиль, если развиваемая двигателем мощность не изменилась?

Примечание1: сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату относительной скорости, сила трения качения постоянна.

Примечание2: во всех случаях проскальзывания колес не возникает.

Примечание3: уравнение третьей степени можно решить методом подбора.

Решение

10.2. (Петров В.). Сила трения $F_{\text{в}}$ между автомобилем и воздухом и сила трения качения $F_{\text{к}}$ уравновешиваются силой трения $F_{\text{т}}$ между колесами и дорогой. Момент силы трения $M$ равен по модулю моменту, развиваемому двигателем машины:

M=F_{\text{т}}r=F_{\text{в}}r+F_{\text{к}}r,\quad\text{где }r\text{ — радиус колес машины.}

Мощность, развиваемая двигателем:

P=M\omega=M\frac{v_{\text{отн}}}{r}=(F_{\text{в}}+F_{\text{к}})v_{\text{отн}}

Здесь $v_{\text{отн}}$ — скорость движения автомобиля относительно конвейера, $\omega$ — угловая скорость вращения колёс.

По условию $F_{\text{в}}=kv_{\text{в}}^2$ , где $v_{\text{в}}$ — скорость движения воздуха относительно автомобиля.

В случае неподвижного конвейера и отсутствия ветра:

\frac{P}{2}=kv_0^3=F_{\text{к}}v_0\qquad (0)

Отсюда:

k=\frac{P}{2v_0^3}

F_{\text{к}}=\frac{P}{2v_0}

В случае неподвижного конвейера и дующего навстречу ветра:

P=(k(v_1+v_0)^2+F_{\text{к}})v_1\qquad (1)

P=\left(\frac{P}{2v_0^3}(v_1+v_0)^2+\frac{P}{2v_0}\right)v_1

\left(\frac{v_1}{v_0}\right)^3+2\left(\frac{v_1}{v_0}\right)^2+2\left(\frac{v_1}{v_0}\right)-2=0

v_1\approx0,575v_0\approx11,5\text{ м/с}

В случае движущегося конвейера:

P=(kv_2^2+F_{\text{к}})(v_0+v_2)\qquad (2)

P=\left(\frac{Pv_2^2}{2v_0^3}+\frac{P}{2v_0}\right)(v_0+v_2)

\left(\frac{v_2}{v_0}\right)^3+\left(\frac{v_2}{v_0}\right)^2+\left(\frac{v_2}{v_0}\right)-1=0

Решив численно это уравнение, получим $v_2\approx0,544v_0\approx10,9$ м/с.

Оригинал в Архива: finalT18.pdf