ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-3. 10 класс · 10.3 · Трубка на центрифуге

10.3. (Аполонский А.) 1. Найдём силу реакции $N$ ближней к оси вращения стенки цилиндра, действующую на поршень в исходном положении. По II закону Ньютона: $m\omega^2l=p_0S-N$.

По мере увеличения $\omega$ сила $N=p_0S-m\omega^2l$ уменьшается. Отрыв от стенки может произойти, когда $N$ станет равной нулю, то есть $p_0S-m\omega^2l=0$, откуда

2. При постоянной температуре для идеального газа выполняется следующее соотношение: $pV=p_0Sa=\mathrm{const}$. Пусть $x$ — смещение поршня по отношению к его исходному положению, тогда $V=S(a-x)$. Газ действует на поршень с силой, равной $F_p=pS=\dfrac{a}{a-x}p_0S$.

Тогда: $m\omega^2(l+x)=\dfrac{a}{a-x}p_0S$ или

Это квадратное уравнение определяет положение равновесия поршня при некоторой угловой скорости вращения $\omega$.

При $\omega=\omega_0$ одно из положений равновесия $x_0=0$, а второе — $x_1=a-l$.

$x_0$ соответствует неустойчивому положению равновесия, так как при $x_0<x<x_1$:

Это означает, что при небольшом смещении поршня от положения $x_0=0$ сила давления газа не сможет удержать поршень. При $\omega_1=\omega_0=22,4$ с$^{-1}$ его начальное положение равновесия неустойчиво и поршень перейдет в устойчивое положение $x_1=a-l=0,4$ м.

3. При медленном уменьшении угловой скорости вращения при некотором значении $\omega=\omega_2$ корни квадратного уравнения совпадают. В результате, положение равновесия поршня при смещении влево оказывается неустойчивым, и поршень возвращается в исходное положение $x_0=0$.

Найдем $\omega_2$, приравняв дискриминант к нулю:

Отсюда