ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-4. 10 класс · 10.4 · Заряженный шар (классика)

10.4. (Чивилев В.) В материале шара поля нет, так как он проводящий. Окружим полость некоторой поверхностью, поток вектора $\vec E$ через неё равен нулю, поэтому сумма зарядов, окружённых ей, (т. е. $q_1$ и индуцированного заряда на стенке полости) по теореме Гаусса равна нулю. Значит, индуцированный заряд на стенке полости равен $-q_1$. Так как объёмных зарядов в проводнике нет, а суммарный заряд шара $Q$, заряд на поверхности шара $Q+q_1$.

Заряды внутри и на стенке полости распределены так, что не создают поля снаружи от полости. Значит, полость вместе с зарядом $q_1$ и индуцированными зарядами на её стенке можно удалить, при этом потенциалы точек вне полости (в том числе и потенциал шара) не изменятся. Мысленно проделав это, найдём потенциал шара как потенциал его центра (потенциалы всех точек проводника одинаковы). Он создаётся только зарядом на поверхности $Q+q_1$ и зарядом $q_2$.

Разбивая поверхность шара на малые участки с зарядами $\Delta Q_i$, получим, что поверхностный заряд создаёт в центре потенциал:

Таким образом, потенциал шара:

Рассмотрим разность потенциалов $\varphi_O$ в центре полости и $\varphi_A$ в некоторой точке $A$ на её стенке. Заряд $q_1$ и заряд $-q_1$ на стенке полости (вклад которого в $\varphi_O$ рассчитывается аналогично $\varphi_C$, не зависит от распределения заряда по стенке и равен $k(-q_1)/r$) создают потенциалы:

Заряд на поверхности шара экранирует поле $q_2$, т. е. эти заряды не создают поля внутри шара, а значит, не влияют на разность потенциалов $\varphi_O-\varphi_A$, где $\varphi_A=\varphi_{\text{ш}}$. Таким образом: