ВсОШ 2018, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 9-1. 9 класс · 9.1 · Паровоз

9.1. (Замятнин М.) Направление ветра можно оценить с помощью касательной, проведенной к начальному участку графика. Ветер дует от железной дороги в северо-восточном направлении, примерно под углом $30^{\circ}$ к меридиану. Из закона сложения скоростей нетрудно заметить, что при движении паровоза с севера на юг, угол между шлейфом и железной дорогой по мере разгона должен уменьшаться, но он увеличивается, следовательно, паровоз движется с юга на север.

Так как движение паровоза равноускоренное из состояния покоя, то зависимость модуля его скорости от времени имеет вид: $u(t)=at$. Введем систему координат, направив ось $OX$ перпендикулярно, а ось $OY$ вдоль железной дороги, выбрав ноль в начальной точке шлейфа. В системе отсчета (СО) ветра проекции скорости паровоза на оси $OX$ и $OY$ равны:

Координаты паровоза от времени (в СО ветра) изменяются следующим образом:

Так как форма шлейфа не изменяется при переходе от одной системы отсчета к другой, уравнение траектории паровоза в СО ветра совпадает с уравнением траектории дыма и имеет вид:

Это уравнение параболы, координаты вершины которой $x_0$ и $y_0$ равны:

Из рисунка находим $y_0=750$ м и $x_0=870$ м, тогда $y_0=\dfrac{x_0\cdot\operatorname{ctg}\alpha}{2}$, из чего убеждаемся, что $\operatorname{ctg}\alpha=1,72$ ($\alpha=30^{\circ}$).
Зная угол, можно найти скорость ветра: $v_0=\dfrac{\sqrt{2ay_0}}{\cos\alpha}=10$ м/с. Заметим, что расстояние между крайними (по оси $x$) точками параболы равно $\Delta x=2000$ м. Но, $\Delta x=v_0\tau\sin\alpha$, где $\tau$ — время всего движения паровоза. Откуда $\tau=\Delta x/v_0\sin\alpha=400$ с и расстояние, пройденное паровозом $s=a\tau^2/2=4000$ м. В принципе, это расстояние можно найти, определив положение начальной точки движения паровоза, продлив касательную, проведенную к началу шлейфа до пересечения с железной дорогой. Минимальная скорость ветра относительно паровоза равна $v_{\min}=v_0\sin\alpha=5$ м/с.